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小テスト ／ h1-14

散布図・相関係数・仮説検定の考え方

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散布図・相関係数・仮説検定の考え方 ── 問題

基礎

  1. 2 つの変量 x、y の相関係数が 0.9 のとき、散布図の様子として最も適切なものはどれですか。　（ア 右上がりだが点の広がりが大きい（弱い正の相関）　イ 点がばらばらで傾向がない（相関がほとんどない）　ウ 右上がりに点が直線状に並ぶ（強い正の相関）　エ 右下がりに点が直線状に並ぶ（強い負の相関））
  2. 次の 4 組のデータ (x, y) の共分散を求めなさい。 (5, 4)、(6, 6)、(2, 4)、(3, 6)
  3. 変量 x と y の相関係数が 0.6 のとき、x、y の単位を cm から m に変更した変量の相関係数はいくらになりますか。　（ア −0.6　イ 0　ウ 1　エ 0.6）
  4. 相関係数 r について、必ず成り立つものはどれですか。　（ア r > 0　イ r は整数　ウ −1 ≦ r ≦ 1　エ 0 ≦ r ≦ 1）
  5. 「アイスの売上」と「水難事故の件数」に正の相関があった。この解釈として適切なものはどれですか。　（ア 水難事故が増えるとアイスが売れる　イ アイスを食べると水難事故が起きやすくなる　ウ 相関があるので因果関係がある　エ 気温など第 3 の要因が両方を増やしている可能性がある）

標準

  1. 次の 5 組のデータ (x, y) について、相関係数 r を求めなさい。 (2, 4)、(3, 4)、(4, 6)、(5, 6)、(6, 10)　（ア 14/5　イ 7√15/30　ウ 7/120　エ −7√15/30）
  2. コインを 10 回投げて 9 回表が出た。「このコインは公正である」を帰無仮説として有意水準 5% で検定する。公正なコインで 10 回中 9 回以上表が出る確率は約 1.1% である。結論として正しいものはどれですか。　（ア 1.1% < 5% なので帰無仮説を採択し、公正だと判断する　イ 5% > 1.1% なので判断できない　ウ 1.1% < 5% なので帰無仮説を棄却し、表が出やすいと判断する　エ 10 回では少なすぎるので検定できない）
  3. 仮説検定で帰無仮説が棄却されなかったとき、正しい言い方はどれですか。　（ア 帰無仮説を否定するだけの証拠が得られなかった　イ 対立仮説が正しい　ウ 有意水準を上げれば必ず棄却できる　エ 帰無仮説が正しいと証明された）
  4. x の標準偏差が 2、y の標準偏差が 3、共分散が 4.8 のとき、相関係数はどれですか。　（ア 2.4　イ 4.8　ウ 0.8　エ 0.4）

発展

  1. 散布図に 1 つだけ大きく外れた点がある。この点を除くと相関係数はどうなりますか。　（ア 必ず小さくなる　イ 変わらない　ウ 大きくなることも小さくなることもある　エ 必ず大きくなる）
  2. 新しい教え方 A を試し、30 人中 20 人が「わかりやすい」と答えた。「A と従来の教え方に差はない（わかりやすいと答える確率 1/2）」を帰無仮説とし、コインを 30 回投げるシミュレーションを 1000 回行ったところ、表が 20 回以上出たのは 49 回だった。有意水準 5% での結論はどれですか。　（ア シミュレーションでは検定できない　イ 49/1000 = 4.9% < 5% なので棄却し、A はわかりやすいと判断する　ウ 20/30 = 67% > 5% なので棄却する　エ 4.9% なので棄却できない）
  3. x と y の相関係数が 0.7 のとき、u = 2x + 1、v = −3y + 2 の相関係数はどれですか。　（ア 4.2　イ −4.2　ウ 0.7　エ −0.7）

散布図・相関係数・仮説検定の考え方 ── 解答

基礎

  1. ウ　右上がりに点が直線状に並ぶ（強い正の相関）　r の符号が相関の向き、|r| が 1 に近いほど直線に近い。右上がりに点が直線状に並ぶ（強い正の相関）
  2. 0.5　x の平均 4、y の平均 5。偏差の積の合計は 2。共分散 = 2 ÷ 4 = 0.5。
  3. エ　0.6　平行移動・正の数倍では相関係数は変わらない。0.6
  4. ウ　−1 ≦ r ≦ 1　相関係数は −1 以上 1 以下。
  5. エ　気温など第 3 の要因が両方を増やしている可能性がある　相関があっても因果関係があるとは限らない。交絡（第 3 の要因）を疑う。

標準

  1. イ　7√15/30　偏差の積の合計 14、x の偏差の 2 乗の合計 10、y の偏差の 2 乗の合計 24。r = 14 / √(10 × 24) = 7√15/30。（n で割る分は約分される）
  2. ウ　1.1% < 5% なので帰無仮説を棄却し、表が出やすいと判断する　帰無仮説のもとでの確率が有意水準より小さい → 棄却。
  3. ア　帰無仮説を否定するだけの証拠が得られなかった　棄却できない ＝ 証拠不十分。帰無仮説が正しいことの証明ではない。
  4. ウ　0.8　r = 共分散 / (sₓ sᵧ) = 4.8 / 6 = 0.8。

発展

  1. ウ　大きくなることも小さくなることもある　外れ値の位置によって r は上下どちらにも動く。散布図で確認してから解釈する。
  2. イ　49/1000 = 4.9% < 5% なので棄却し、A はわかりやすいと判断する　帰無仮説のもとで 20 人以上になる相対度数 4.9% は 5% より小さい → 棄却。
  3. エ　−0.7　平行移動と正の数倍では不変、y を負の数倍したので符号が変わる。

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