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小テスト ／ h2-02

複素数・二次方程式の解と係数の関係

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複素数・二次方程式の解と係数の関係 ── 問題

基礎

  1. 次の計算をしなさい。 (2 + 4i)(−2 + 4i)　（ア −20　イ −4 + 16i　ウ 12　エ −20 + 16i）
  2. 次の計算をしなさい。 (−2 − 4i)/(1 − 3i)　（ア 10 − 10i　イ 1 − i　ウ −1 + i　エ −14 + 2i）
  3. 二次方程式 x² + 0x + 4 = 0 を解きなさい。　（ア x = 0 ± 2i　イ x = 0 ± 2　ウ x = 0 ± √4）
  4. 二次方程式 3x² + 3x + 5 = 0 の 2 つの解を α、β とするとき、α + β と αβ の値を求めなさい。　（ア α + β = −3、αβ = 5　イ α + β = 1、αβ = 5/3　ウ α + β = −1、αβ = −5/3　エ α + β = −1、αβ = 5/3）
  5. 二次方程式 x² + x + 3 = 0 の 2 つの解を α、β とするとき、α² + β² の値を求めなさい。
  6. √(−2) × √(−8) の値はどれですか。　（ア −4　イ 4i　ウ 4　エ −4i）

標準

  1. 1 + 2i と 1 − 2i を 2 つの解とする二次方程式（x² の係数が 1）を求めなさい。　（ア x² − 2x + 5 = 0　イ x² + 2x + 5 = 0　ウ x² − 5x + 2 = 0　エ x² − 2x − 5 = 0）
  2. 二次方程式 x² + 2x + 4 = 0 の 2 つの解を α、β とするとき、α³ + β³ の値を求めなさい。
  3. 二次方程式 x² + ax + b = 0（a、b は実数）の 1 つの解が −3 + 2i であるとき、a、b の値を求めなさい。　（ア a = 3、b = 2　イ a = −6、b = 13　ウ a = 6、b = 13　エ a = 6、b = 26　undefined a = 6、b = 5）
  4. x² − 3x + 1 = 0 の 2 解を α、β とするとき、|α − β| の値はどれですか。　（ア 3　イ √13　ウ √5　エ 5）
  5. x² + 4 を複素数の範囲で因数分解したものはどれですか。　（ア (x + 2i)(x − 2i)　イ (x + 2i)²　ウ (x + 2)(x − 2)　エ 因数分解できない）

発展

  1. x² − 2kx + k + 2 = 0 の 2 つの解がともに正であるような k の範囲はどれですか。　（ア k > −2　イ k ≦ −1 または k ≧ 2　ウ −2 < k ≦ −1　エ k ≧ 2）
  2. x² − 3x + 1 = 0 の解 α、β に対し、α²、β² を解とする二次方程式（x² の係数 1）はどれですか。　（ア x² − 7x − 1 = 0　イ x² + 7x + 1 = 0　ウ x² − 7x + 1 = 0　エ x² − 9x + 1 = 0）
  3. (1 + i)⁴ の値はどれですか。　（ア 4　イ 4i　ウ −4i　エ −4）

複素数・二次方程式の解と係数の関係 ── 解答

基礎

  1. ア　−20　展開して i² = −1 におきかえる。実部 (2)(−2) − (4)(4) = −20、虚部 (2)(4) + (4)(−2) = 0。−20
  2. イ　1 − i　分母の共役 1 + 3i を分母・分子にかける。分母は 1² + 3² = 10。1 − i
  3. ア　x = 0 ± 2i　b′ の公式：x = 0 ± √(−4)。√(−4) = √4 i。x = 0 ± 2i
  4. エ　α + β = −1、αβ = 5/3　解と係数の関係：α + β = −b/a、αβ = c/a。α + β = −1、αβ = 5/3
  5. −5　α + β = −1、αβ = 3。α² + β² = (α + β)² − 2αβ = 1 − (6) = −5。
  6. ア　−4　√2 i × 2√2 i = 4i² = −4。先に i に直す。

標準

  1. ア　x² − 2x + 5 = 0　和 2、積 5。x² − (和)x + (積) = 0 で x² − 2x + 5 = 0
  2. 16　α + β = −2、αβ = 4。α³ + β³ = (α + β)³ − 3αβ(α + β) = −8 − (−24) = 16。
  3. ウ　a = 6、b = 13　実数係数なので、もう 1 つの解は共役 −3 − 2i。和 −6 = −a、積 13 = b。a = 6、b = 13
  4. ウ　√5　(α − β)² = (α + β)² − 4αβ = 9 − 4 = 5。
  5. ア　(x + 2i)(x − 2i)　x² + 4 = 0 の解は x = ±2i。

発展

  1. エ　k ≧ 2　D/4 = k² − k − 2 ≧ 0、和 2k > 0、積 k + 2 > 0 → k ≧ 2。
  2. ウ　x² − 7x + 1 = 0　和 α² + β² = 9 − 2 = 7、積 (αβ)² = 1。
  3. エ　−4　(1 + i)² = 2i。(2i)² = 4i² = −4。

受験のしらべ ／ https://juken-shirabe.com/daigaku/math/h2-02/test/ ／ 問題は毎回の表示で数が変わります。印刷したものはその一例です。

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