数学Ⅱ ／ いろいろな式 ／ h2-02
複素数・二次方程式の解と係数の関係
この単元でできるようになること
- 虚数単位 i（i² = −1）を使って、複素数の四則計算ができる
- 負の数の平方根 √(−a) = √a i を扱える
- 二次方程式の解を複素数の範囲で求め、判別式で「実数解／虚数解」を判定できる
- 解と係数の関係 α + β = −b/a、αβ = c/a が使える
- 2 解の対称式（α² + β²、α³ + β³ など）の値が求められる
- 2 数を解とする二次方程式を作れる
入試での位置づけ
解と係数の関係は数学Ⅱの最頻出の道具の一つで、共通テストでも「2 解の和と積から対称式の値」「解の条件から定数の範囲」が出ます。複素数の計算そのものは数学C の複素数平面（hc-05）で本格化しますが、i² = −1 と共役の扱いはここで固めます。
1. 複素数
まずここだけ
i² = −1 となる数 i を虚数単位という。a + bi（a、b は実数）の形の数を複素数という。
- b = 0 なら実数、b ≠ 0 なら虚数、a = 0 かつ b ≠ 0 なら純虚数
- 相等：a + bi = c + di ⇔ a = c かつ b = d
- 共役複素数：a + bi の共役は a − bi（i の符号を変える）
四則計算
i を文字のように扱い、i² が出たら −1 におきかえる。
(2 + 3i) + (1 − i) = 3 + 2i (2 + 3i)(1 − i) = 2 − 2i + 3i − 3i² = 2 + i + 3 = 5 + i (1 + i)² = 1 + 2i + i² = 2i
割り算：分母の共役を分母・分子にかける（分母の有理化と同じ）。
(2 + 3i)/(1 − i) = (2 + 3i)(1 + i)/{(1 − i)(1 + i)} = (2 + 2i + 3i + 3i²)/(1 − i²) = (−1 + 5i)/2 = −1/2 + (5/2)i
負の数の平方根
√(−a) = √a i（a > 0）。先に i に直してから計算する。
√(−2) × √(−8) = √2 i × 2√2 i = 4i² = −4（× √16 = 4 としない） √(−4)/√2 = 2i/√2 = √2 i
2. 二次方程式の虚数解
まずここだけ
解の公式はそのまま。D < 0 のとき √D = √(−D) i で虚数解になる。
x² + 2x + 5 = 0：x = −1 ± √(1 − 5) = −1 ± √(−4) = −1 ± 2i x² + x + 1 = 0：x = (−1 ± √3 i)/2
| D の符号 | 解 |
|---|---|
| D > 0 | 異なる 2 つの実数解 |
| D = 0 | 重解（実数） |
| D < 0 | 異なる 2 つの虚数解（互いに共役） |
実数係数の二次方程式の虚数解は、必ず共役のペア。
3. 解と係数の関係
まずここだけ
ax² + bx + c = 0 の 2 解を α、β とすると、
α + β = −b/a、αβ = c/a
（解の公式から足す・かけると出る。または a(x − α)(x − β) = ax² + bx + c の係数比較）
2x² − 6x + 1 = 0 の解を α、β とすると α + β = 3、αβ = 1/2
解を求めなくても和と積がわかるのがポイント。
対称式の値
α と β を入れかえても変わらない式（対称式）は、α + β と αβ で表せる。
| 対称式 | 変形 |
|---|---|
| α² + β² | (α + β)² − 2αβ |
| (α − β)² | (α + β)² − 4αβ |
| α³ + β³ | (α + β)³ − 3αβ(α + β) |
| 1/α + 1/β | (α + β)/αβ |
| α²β + αβ² | αβ(α + β) |
x² − 3x + 1 = 0 の解 α、β：α + β = 3、αβ = 1 α² + β² = 9 − 2 = 7 α³ + β³ = 27 − 3・1・3 = 18 (α − β)² = 9 − 4 = 5 → |α − β| = √5
4. 2 数を解とする二次方程式
ここまでできれば十分
和 p、積 q の 2 数を解とする二次方程式は x² − px + q = 0（x² −（和）x ＋（積）= 0）。
2 + √3 と 2 − √3 を解とする：和 4、積 1 → x² − 4x + 1 = 0 1 + 2i と 1 − 2i：和 2、積 5 → x² − 2x + 5 = 0 α、β が x² − 3x + 1 = 0 の解のとき、α²、β² を解とする方程式：和 α² + β² = 7、積 (αβ)² = 1 → x² − 7x + 1 = 0
二次式の因数分解（複素数の範囲）
解 α、β がわかれば ax² + bx + c = a(x − α)(x − β)。
x² + 4 = (x + 2i)(x − 2i)、x² − 2x + 3 = (x − 1 − √2 i)(x − 1 + √2 i)
5. 解の条件と係数の範囲
ここまでできれば十分
x² − 2kx + k + 2 = 0 の 2 解 α、β について、
| 条件 | 式 |
|---|---|
| 2 解がともに正 | D ≧ 0 かつ α + β > 0 かつ αβ > 0 |
| 2 解がともに負 | D ≧ 0 かつ α + β < 0 かつ αβ > 0 |
| 異符号 | αβ < 0（このとき D > 0 は自動） |
ともに正：D/4 = k² − k − 2 ≧ 0（k ≦ −1 または k ≧ 2）、α + β = 2k > 0、αβ = k + 2 > 0 → k ≧ 2
h1-09 の「グラフで考える」方法（軸・f(0)）と同じ答えになる。
1 つの解がわかっているとき
「x² + ax + b = 0 の 1 つの解が 1 + i」→ もう 1 つは共役 1 − i（実数係数）。和 2 = −a、積 2 = b → a = −2、b = 2
6. 自己チェック
- i² = −1 におきかえたか
- √(−a) は先に √a i にしたか
- 割り算は分母の共役をかけたか
- α + β = −b/a（マイナスを忘れない）、αβ = c/a
- 対称式は和と積で表す。(α − β)² = (α + β)² − 4αβ
- 2 数を解とする方程式は x² − (和)x + (積) = 0
7. 小テストへ
→ 小テスト（h2-02）
関連する単元
参考資料
- 文部科学省『高等学校学習指導要領（平成30年告示）解説 数学編 理数編』── 数学Ⅱ「(1) いろいろな式 ア(イ) 複素数と方程式」
受験のしらべ ／ https://juken-shirabe.com/daigaku/math/h2-02/ ／ 更新 2026-09-12