複素数・二次方程式の解と係数の関係 ── 問題
基礎
- 次の計算をしなさい。 (2 + 4i)(−2 + 4i) （ア −20 イ −4 + 16i ウ 12 エ −20 + 16i）
- 次の計算をしなさい。 (−2 − 4i)/(1 − 3i) （ア 10 − 10i イ 1 − i ウ −1 + i エ −14 + 2i）
- 二次方程式 x² − 2x + 2 = 0 を解きなさい。 （ア x = 1 ± イ x = 1 ± 1 ウ x = −1 ± i エ x = 1 ± i）
- 二次方程式 x² + x − 3 = 0 の 2 つの解を α、β とするとき、α + β と αβ の値を求めなさい。 （ア α + β = −1、αβ = −3 イ α + β = −1、αβ = 3 ウ α + β = 1、αβ = −3）
- 二次方程式 x² + 5x + 3 = 0 の 2 つの解を α、β とするとき、α² + β² の値を求めなさい。
- √(−2) × √(−8) の値はどれですか。 （ア −4 イ 4i ウ 4 エ −4i）
標準
- 2 + √3 と 2 − √3 を 2 つの解とする二次方程式（x² の係数が 1）を求めなさい。 （ア x² + 4x + 1 = 0 イ x² + x + 4 = 0 ウ x² − 4x − 1 = 0 エ x² − 4x + 1 = 0 undefined x² − x + 4 = 0）
- 二次方程式 x² − 3x − 1 = 0 の 2 つの解を α、β とするとき、α³ + β³ の値を求めなさい。
- 二次方程式 x² + ax + b = 0（a、b は実数）の 1 つの解が 3 + i であるとき、a、b の値を求めなさい。 （ア a = −6、b = 8 イ a = −6、b = 10 ウ a = −3、b = 1 エ a = −6、b = 20 undefined a = 6、b = 10）
- x² − 3x + 1 = 0 の 2 解を α、β とするとき、|α − β| の値はどれですか。 （ア 3 イ √13 ウ √5 エ 5）
- x² + 4 を複素数の範囲で因数分解したものはどれですか。 （ア (x + 2i)(x − 2i) イ (x + 2i)² ウ (x + 2)(x − 2) エ 因数分解できない）
- x の二次方程式 x² − 6x + k = 0 の 2 つの解の差が 8 であるとき、定数 k の値を求めなさい。
- 太郎さんと花子さんが、二次方程式 x² − 2x + k = 0（k は実数）について話している。 太郎：解が虚数になるのは判別式が負のときだね。 花子：そのとき 2 つの解は、たがいに共役な複素数になるよ。 2 つの解が虚数で、1 つの解の実部の 2 乗と虚部の 2 乗の和が 5 になるような k の値はどれですか。 （ア k = √5 イ k = 4 ウ k = 5 エ k = 6）
- 周りの長さが 20 m（縦と横の和が 10 m）、面積が 30 m² の長方形の花壇を作ろうとした。縦と横の長さを 2 つの解とする二次方程式と、結論の組み合わせとして正しいものはどれですか。 （ア x² + 10x + 30 = 0・実数解がなく作れない イ x² − 30x + 10 = 0・解が 2 つあり作れる ウ x² − 10x + 30 = 0・解が 2 つあり作れる エ x² − 10x + 30 = 0・実数解がなく作れない）
発展
- x² − 2kx + k + 2 = 0 の 2 つの解がともに正であるような k の範囲はどれですか。 （ア k > −2 イ k ≦ −1 または k ≧ 2 ウ −2 < k ≦ −1 エ k ≧ 2）
- x² − 3x + 1 = 0 の解 α、β に対し、α²、β² を解とする二次方程式（x² の係数 1）はどれですか。 （ア x² − 7x − 1 = 0 イ x² + 7x + 1 = 0 ウ x² − 7x + 1 = 0 エ x² − 9x + 1 = 0）
- (1 + i)⁴ の値はどれですか。 （ア 4 イ 4i ウ −4i エ −4）
- 二次方程式 x² − 5x + 5 = 0 の 2 つの解を α、β とするとき、α⁴ + β⁴ の値を求めなさい。
- x の二次方程式 x² − 2(k − 1)x + k + 5 = 0 の 2 つの解（重解は 2 つと数える）がともに 1 より大きくなるような k の範囲はどれですか。 （ア k ≧ 4 イ 4 < k < 8 ウ 2 < k < 8 エ 4 ≦ k < 8）
- 2 つの二次方程式 x² + kx + 2 = 0 と x² + 2x + k = 0 が、ただ 1 つの共通な実数解をもつ。定数 k と共通解の組み合わせはどれですか。 （ア k = −3、共通解 x = 2 イ k = −3、共通解 x = 1 ウ k = 2、共通解 x = 1 エ k = 3、共通解 x = −1）
複素数・二次方程式の解と係数の関係 ── 解答
基礎
- ア −20 展開して i² = −1 におきかえる。実部 (2)(−2) − (4)(4) = −20、虚部 (2)(4) + (4)(−2) = 0。−20
- イ 1 − i 分母の共役 1 + 3i を分母・分子にかける。分母は 1² + 3² = 10。1 − i
- エ x = 1 ± i b′ の公式：x = 1 ± √(−1)。√(−1) = √1 i。x = 1 ± i
- ア α + β = −1、αβ = −3 解と係数の関係：α + β = −b/a、αβ = c/a。α + β = −1、αβ = −3
- 19 α + β = −5、αβ = 3。α² + β² = (α + β)² − 2αβ = 25 − (6) = 19。
- ア −4 √2 i × 2√2 i = 4i² = −4。先に i に直す。
標準
- エ x² − 4x + 1 = 0 和 4、積 1。x² − (和)x + (積) = 0 で x² − 4x + 1 = 0
- 36 α + β = 3、αβ = −1。α³ + β³ = (α + β)³ − 3αβ(α + β) = 27 − (−9) = 36。
- イ a = −6、b = 10 実数係数なので、もう 1 つの解は共役 3 − i。和 6 = −a、積 10 = b。a = −6、b = 10
- ウ √5 (α − β)² = (α + β)² − 4αβ = 9 − 4 = 5。
- ア (x + 2i)(x − 2i) x² + 4 = 0 の解は x = ±2i。
- −7 2 つの解を α、β（α > β）とすると α + β = 6、α − β = 8。α = 7、β = −1 で、k = αβ = −7。
- ウ k = 5 D/4 = 1 − k < 0 より k > 1。解は 1 ± √(k − 1) i で、実部² + 虚部² = 1 + (k − 1) = k（積 αβ = k と同じ）。よって k = 5。
- エ x² − 10x + 30 = 0・実数解がなく作れない 縦と横は和 10、積 30 の 2 数なので x² − 10x + 30 = 0 の解。判別式 D = 100 − 120 < 0 で実数解がなく、そのような長方形はない（周 20 m の長方形の面積は最大でも正方形の 25 m²）。
発展
- エ k ≧ 2 D/4 = k² − k − 2 ≧ 0、和 2k > 0、積 k + 2 > 0 → k ≧ 2。
- ウ x² − 7x + 1 = 0 和 α² + β² = 9 − 2 = 7、積 (αβ)² = 1。
- エ −4 (1 + i)² = 2i。(2i)² = 4i² = −4。
- 175 α + β = 5、αβ = 5。α² + β² = 5² − 2·(5) = 15。α⁴ + β⁴ = (α² + β²)² − 2(αβ)² = (15)² − 2·(5)² = 175。
- エ 4 ≦ k < 8 f(x) = x² − 2(k − 1)x + k + 5 として、判別式 D/4 = (k − 4)(k + 1) ≧ 0、軸 x = k − 1 > 1、f(1) = 8 − k > 0 の 3 つを同時に満たす範囲。
- イ k = −3、共通解 x = 1 共通解を α として 2 式を引くと (k − 2)(α − 1) = 0。k = 2 のとき 2 式は同じ式 x² + 2x + 2 = 0 で実数解がない。よって α = 1、1 + k + 2 = 0 から k = −3（解は 1、2 と 1、−3 で共通は 1 だけ）。
受験のしらべ ／ https://juken-shirabe.com/daigaku/math/h2-02/test/ ／ 問題は毎回の表示で数が変わります。印刷したものはその一例です。
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