剰余の定理・因数定理・高次方程式 ── 問題
基礎
- 整式 P(x) = x³ + x² + x + 4 を x − 3 で割った余りを求めなさい。
- 次の式を因数分解しなさい。 x³ − 2x² − 5x + 6 （ア (x − 2)(x + 1)(x + 3) イ (x − 1)(x + 2)(x + 3) ウ (x − 1)²(x + 2) エ (x − 3)(x − 1)(x + 2)）
- 3 次方程式 x³ + x² − 2x = 0 を解きなさい。 （ア x = −2、0、1 イ x = −2、0 ウ x = 2、0、−1 エ x = −2、0、2）
- 4 次方程式 x⁴ − 13x² + 36 = 0 を解きなさい。 （ア x = ±2、±3 イ x = ±2i、±3i ウ x = ±4、±9 エ x = 2、3）
- ω を 1 の 3 乗根のうち虚数であるものの 1 つとするとき、ω^16 の値を求めなさい。 （ア 1 イ ω² ウ −1 エ ω）
- 整式 P(x) を 2x − 1 で割った余りはどれですか。 （ア P(1/2) イ P(1) ウ P(2) エ P(−1/2)）
標準
- 整式 P(x) を x + 2 で割ると余りが −1、x + 1 で割ると余りが 6 である。P(x) を (x + 2)(x + 1) で割った余りを求めなさい。 （ア −7x − 15 イ 7x + 13 ウ 7x − 1 エ −x + 6）
- 3 次方程式 x³ − x² − 7x + 15 = 0 を解きなさい。 （ア x = −3、2 ± i イ x = −3 のみ（実数解 1 個） ウ x = 3、2 ± i エ x = −3、−2 ± i）
- 3 次方程式 x³ − 4x² − 4 = 0 の 3 つの解を α、β、γ とするとき、α² + β² + γ² の値を求めなさい。
- ω を 1 の虚数の 3 乗根の 1 つとするとき、ω⁴ + ω² + 1 の値はどれですか。 （ア −1 イ 0 ウ ω エ 1）
- x³ − 3x + 2 = 0 の解はどれですか。 （ア x = 1（重解）、−2 イ x = 1、−1、2 ウ x = 1、2 エ x = −1（重解）、2）
- 整式 x³ + 3x² + kx − 10 が x + 1 で割り切れるように、定数 k の値を定めなさい。
- 方程式 2x³ − x² − 5x − 2 = 0 を解きたい。 太郎：x = 1 を代入しても 0 にならないね。 花子：解の候補は ±（定数項の約数）/（最高次の係数の約数）だから、負の数や分数も試そう。 この方程式の解の組として正しいものはどれですか。 （ア x = −1、1/2、−2 イ x = −1、−1/2、2 ウ x = −1、2、−2 エ x = 1、1/2、−2）
- 立方体の箱の縦を 1 cm、横を 2 cm 長くし、高さを 1 cm 短くした直方体の容積が 40 cm³ になった。もとの立方体の 1 辺を x cm とするとき、立てる方程式と x の値の組み合わせはどれですか。 （ア x³ + 3x² + 2x − 40 = 0、x = 3 イ x³ + 2x² − x − 42 = 0、x = 2 ウ x³ + 2x² − x − 40 = 0、x = 3 エ x³ + 2x² − x − 42 = 0、x = 3）
発展
- x³ + ax + b = 0（a、b は実数）の 1 つの解が 1 + i のとき、残りの解はどれですか。 （ア 1 − i と −2 イ −1 − i と 0 ウ 1 − i と −1 エ 1 − i と 2）
- 整式 P(x) を x² − 1 で割ると余りが 2x + 1、x − 2 で割ると余りが 3 である。P(x) を (x² − 1)(x − 2) で割った余りを ax² + bx + c とするとき、a の値はどれですか。 （ア 2/3 イ −1 ウ −2/3 エ 1）
- 2x³ − 3x² − 3x + 2 = 0 の解はどれですか。 （ア x = −1、2、−1/2 イ x = 1、−2、1/2 ウ x = 1、2、1/2 エ x = −1、2、1/2）
- x^6 を (x − 1)² で割った余りを px + q と表すとき、q の値を求めなさい。
- x の 3 次方程式 x³ + (k − 1)x² − k = 0 が異なる 3 つの実数解をもつような定数 k の範囲はどれですか。 （ア 0 < k < 4（ただし k ≠ −1/2） イ k < 0 または k > 4 ウ k < 0 または k > 4（ただし k ≠ 1） エ k < 0 または k > 4（ただし k ≠ −1/2））
- 太郎：x² + x + 1 = 0 の解の 1 つを ω とすると、ω³ = 1 が成り立つね。 花子：それを使うと、x¹⁰⁰ を x² + x + 1 で割った余りも求められるよ。 x¹⁰⁰ を x² + x + 1 で割った余りはどれですか。 （ア −x − 1 イ x ウ 1 エ x + 1）
剰余の定理・因数定理・高次方程式 ── 解答
基礎
- 43 剰余の定理：余りは P(3) = 43。
- エ (x − 3)(x − 1)(x + 2) P(−2) = 0 なので (x + 2) を因数に持つ。割った商の 2 次式をさらに因数分解して (x − 3)(x − 1)(x + 2)。
- ア x = −2、0、1 因数定理で (x + 2)(x)(x − 1) = 0。x = −2、0、1
- ア x = ±2、±3 x² = t とおくと t² − 13t + 36 = (t − 4)(t − 9) = 0。x² = 4、9 より x = ±2、±3。
- エ ω ω³ = 1 なので ω^16 = (ω³)^5 × ω^1 = ω。
- ア P(1/2) 2x − 1 = 0 の解 x = 1/2 を代入。
標準
- イ 7x + 13 余りを px + q とおく。P(−2) = −2p + q = −1、P(−1) = −p + q = 6。解いて p = 7。7x + 13
- ア x = −3、2 ± i P(−3) = 0 より (x + 3)(x² − 4x + 5) = 0。2 次式は虚数解。x = −3、2 ± i
- 16 解と係数の関係：α + β + γ = 4、αβ + βγ + γα = 0。α² + β² + γ² = (α + β + γ)² − 2(αβ + βγ + γα) = 16 − (0) = 16。
- イ 0 ω⁴ = ω なので ω + ω² + 1 = 0。
- ア x = 1（重解）、−2 (x − 1)(x² + x − 2) = (x − 1)²(x + 2)。
- −8 因数定理より P(−1) = 0。P(−1) = −8 + (−1)·k なので k = −8。
- イ x = −1、−1/2、2 x = −1 を代入すると −2 − 1 + 5 − 2 = 0 なので x + 1 で割り切れる。2x³ − x² − 5x − 2 = (x + 1)(2x² − 3x − 2) = (x + 1)(2x + 1)(x − 2)。
- エ x³ + 2x² − x − 42 = 0、x = 3 (x + 1)(x + 2)(x − 1) = 40 を展開して x³ + 2x² − x − 42 = 0。x = 3 で 0 になるので (x − 3)(x² + 5x + 14) = 0。x² + 5x + 14 = 0 は判別式が負で実数解がないので x = 3。
発展
- ア 1 − i と −2 共役 1 − i も解。3 解の和 = 0（x² の係数が 0）より残りは −2。
- ウ −2/3 余り = a(x² − 1) + 2x + 1 とおける（x² − 1 で割った余りが 2x + 1）。x = 2 で 3a + 5 = 3 → a = −2/3。
- エ x = −1、2、1/2 P(−1) = 0、P(2) = 0。(x + 1)(x − 2)(2x − 1) = 0。
- −5 x^6 = ((x − 1) + 1)^6 を二項定理で展開すると、(x − 1)² 以上を含む項は (x − 1)² で割り切れ、残りは 6(x − 1) + 1 = 6x − 5。q = −5。
- エ k < 0 または k > 4（ただし k ≠ −1/2） x = 1 を代入すると 0 なので (x − 1)(x² + kx + k) = 0。x² + kx + k = 0 が 1 以外の異なる 2 つの実数解をもてばよい。判別式 k² − 4k > 0 と、x = 1 が解にならない条件 1 + 2k ≠ 0 をあわせる。
- イ x x¹⁰⁰ = (x² + x + 1)Q(x) + ax + b（a、b は実数）に x = ω を代入。ω³ = 1 より ω¹⁰⁰ = (ω³)³³·ω = ω。aω + b = ω で ω は虚数なので a = 1、b = 0。余りは x。
受験のしらべ ／ https://juken-shirabe.com/daigaku/math/h2-03/test/ ／ 問題は毎回の表示で数が変わります。印刷したものはその一例です。
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