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数学Ⅱ ／ いろいろな式 ／ h2-03

更新 2026-09-12

剰余の定理・因数定理・高次方程式

この単元でできるようになること

入試での位置づけ

因数定理は数学Ⅱの微分（h2-12）で「極値をとる x を求める」「方程式の実数解の個数」を扱うときに必須で、共通テストでも 3 次式の因数分解が計算の途中に出ます。私立大では「x³ − 6x² + 11x − 6 = 0 を解け」や「ω を使った値の計算」が小問の定番です。

1. 剰余の定理

まずここだけ

整式 P(x) を x − a で割った余りは P(a)。

（P(x) = (x − a)Q(x) + R に x = a を代入すると P(a) = R）

P(x) = x³ − 2x² + 3x − 1 を x − 2 で割った余り：P(2) = 8 − 8 + 6 − 1 = 5 x + 1 で割った余り：P(−1) = −1 − 2 − 3 − 1 = −7（x + 1 = x − (−1)） 2x − 1 で割った余り：P(1/2)（2x − 1 = 0 の解を代入）

2 次式で割った余り

余りは ax + b とおき、条件を 2 つ作る。

P(x) を x − 1 で割ると余り 3、x − 2 で割ると余り 5 のとき、(x − 1)(x − 2) で割った余り P(x) = (x − 1)(x − 2)Q(x) + ax + b とおく。P(1) = a + b = 3、P(2) = 2a + b = 5 → a = 2、b = 1 → 余り 2x + 1

2. 因数定理

まずここだけ

P(a) = 0 ⇔ P(x) は x − a を因数に持つ（x − a で割り切れる）。

P(x) = x³ − 6x² + 11x − 6：P(1) = 1 − 6 + 11 − 6 = 0 → (x − 1) を因数に持つ 割ると x² − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3) → P(x) = (x − 1)(x − 2)(x − 3)

a の候補の見つけ方

P(a) = 0 となる a は、（定数項の約数）/（最高次の係数の約数）の中にある。

x³ − 6x² + 11x − 6：定数項 −6 の約数 ±1、±2、±3、±6 を順に代入 2x³ − 3x² − 3x + 2：候補 ±1、±2、±1/2 → P(−1) = 0、P(2) = 0、P(1/2) = 0

まず ±1 を試す（係数の和が 0 なら x = 1、交互の和が 0 なら x = −1）。

組立除法（発展・速い）

x³ − 6x² + 11x − 6 を x − 1 で割る：

1 │ 1  −6   11  −6
  │     1   −5   6
  └─────────────────
    1  −5    6 │ 0

係数を書き、1 を降ろし、「かけて足す」をくり返す。最後が余り（0）、その前が商の係数 1、−5、6 → x² − 5x + 6。

3. 高次方程式

ここまでできれば十分

3 次方程式：因数定理で 1 次式 × 2 次式に分解。

x³ − 3x + 2 = 0：P(1) = 0 → (x − 1)(x² + x − 2) = (x − 1)²(x + 2) = 0 → x = 1（重解）、−2 x³ + 8 = 0：(x + 2)(x² − 2x + 4) = 0 → x = −2、1 ± √3 i（3 次の公式）

複二次式：x² = t とおく。

x⁴ − 5x² + 4 = 0 → (x² − 1)(x² − 4) = 0 → x = ±1、±2 x⁴ + x² − 2 = 0 → (x² + 2)(x² − 1) = 0 → x = ±1、±√2 i

4 次方程式：因数定理を 2 回、または 2 次式 × 2 次式に分解。

解の個数

n 次方程式は複素数の範囲で（重解を重ねて数えて）ちょうど n 個の解を持つ。

4. 1 の 3 乗根 ω

ここまでできれば十分

x³ = 1 の解は x³ − 1 = (x − 1)(x² + x + 1) = 0 より x = 1、(−1 ± √3 i)/2。 虚数解の 1 つを ω とおくと、

ω³ = 1、ω² + ω + 1 = 0、もう 1 つの虚数解は ω²（= ω の共役）

ω¹⁰ = (ω³)³ × ω = ω ω² + ω = −1 ω⁴ + ω² + 1 = ω + ω² + 1 = 0

ω³ = 1 で次数を落とし、ω² + ω + 1 = 0 で整理する。

5. 3 次方程式の解と係数の関係（発展）

もう一歩

ax³ + bx² + cx + d = 0 の 3 解 α、β、γ について、

α + β + γ = −b/a、αβ + βγ + γα = c/a、αβγ = −d/a

（a(x − α)(x − β)(x − γ) を展開して係数比較）

x³ − 2x² + 3x − 4 = 0：α + β + γ = 2、αβ + βγ + γα = 3、αβγ = 4 α² + β² + γ² = (α + β + γ)² − 2(αβ + βγ + γα) = 4 − 6 = −2

虚数解を持つ 3 次方程式

実数係数の 3 次方程式が虚数解 p + qi を持てば、共役 p − qi も解。「x³ + ax + b = 0 の 1 つの解が 1 + i」→ 1 − i も解。3 解の和 = 0 より残りの解は −2。あとは積などから a、b。

6. 自己チェック

  1. x − a で割った余りは P(a)。x + 1 なら P(−1)、2x − 1 なら P(1/2)
  2. 因数定理の候補は定数項の約数（÷ 最高次係数の約数）。まず ±1
  3. 3 次式は 1 次 × 2 次に分けたあと、2 次式をさらに調べたか
  4. x² = t のおきかえ（複二次）
  5. ω³ = 1、ω² + ω + 1 = 0

7. 小テストへ

→ 小テスト（h2-03）

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参考資料

このページの小テスト ── 間違えても、同じ型の別の問題でやり直せます。レベルを選んでそのまま始められます。
基礎から標準から発展から

受験のしらべ ／ https://juken-shirabe.com/daigaku/math/h2-03/ ／ 更新 2026-09-12

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