点と直線（内分・外分・距離・直線の方程式） ── 問題
基礎
- 2 点 A(1, 0)、B(1, 4) を結ぶ線分 AB を 1 : 1 に内分する点の座標を求めなさい。 （ア (2, 2) イ (2, 4) ウ (1, 2)）
- 2 点 A(4, −1)、B(−3, −2) を結ぶ線分 AB を 1 : 2 に外分する点の座標を求めなさい。 （ア (−11, 0) イ (−10, −3) ウ (5/3, −4/3) エ (11, 0)）
- 点 (−2, 0) を通り、傾きが 3 の直線の方程式を求めなさい。 （ア y = 3x イ y = 3x − 6 ウ y = −3x − 6 エ y = 3x + 6）
- 2 点 (−1, 3)、(0, 5) を通る直線の方程式を求めなさい。 （ア y = 2x + 3 イ y = −2x + 1 ウ y = x/2 + 7/2 エ y = 2x + 5）
- 点 (−4, 1) と直線 12x − 5y + 2 = 0 の距離を求めなさい。 （ア 51/169 イ 51 ウ 41/13 エ 51/13）
- 直線 y = 2x + 1 に垂直な直線の傾きはどれですか。 （ア 1/2 イ −1/2 ウ −2 エ 2）
標準
- 点 (2, −4) を通り、直線 2x − y − 3 = 0 に垂直な直線の方程式を求めなさい。 （ア 2x + y = 0 イ x + 2y + 7 = 0 ウ x − 2y − 10 = 0 エ x + 2y + 6 = 0）
- 3 点 O(0, 0)、A(4, 0)、B(−3, −1) を頂点とする三角形の面積を求めなさい。
- 3 点 A(2, 5)、B(−4, −3)、C(−1, 4) を頂点とする三角形の重心の座標を求めなさい。 （ア (0, 1) イ (−1, 2) ウ (−3, 6) エ (−3/2, 3)）
- 点 (1, 2) を直線 x + y = 1 に関して対称移動した点はどれですか。 （ア (−2, −1) イ (−1, 0) ウ (0, −1) エ (2, 1)）
- 直線 2x + 3y = 1 と平行で、点 (3, 0) を通る直線はどれですか。 （ア 3x − 2y = 9 イ 2x − 3y = 6 ウ 2x + 3y = 1 エ 2x + 3y = 6）
- 2 直線 5x + 4y + 1 = 0 と kx − 5y − 3 = 0 が垂直になるように、定数 k の値を定めなさい。
- 3 点 A(0, 0)、B(4, 0)、C(1, 3) を頂点とする三角形の外心を求めている。 太郎：外心は 3 辺の垂直二等分線の交点だから、2 本求めれば十分だね。 花子：AB の垂直二等分線は x = 2 だよ。 外心の座標はどれですか。 （ア (2, 1) イ (5/3, 1) ウ (2, 3/2) エ (1, 2)）
- 2 つの町 A(1, 2) と B(7, 5) を結ぶまっすぐな道路の上に駅を作る。A からの道のりと B からの道のりの比が 2 : 1 になる位置に作るとき、駅の座標はどれですか。 （ア (13, 8) イ (4, 7/2) ウ (3, 3) エ (5, 4)）
発展
- 2 直線 x + y − 3 = 0 と 2x − y = 0 の交点を通り、点 (1, −1) を通る直線はどれですか。 （ア x = 1 イ y = 2x − 3 ウ 3x − y = 4 エ x + y = 0）
- 点 (1, 1) から直線 3x + 4y − 15 = 0 までの距離はどれですか。 （ア 2 イ 8/5 ウ 3 エ 7/5）
- A(1, 2)、B(4, 6)、C(−2, 5) の三角形の面積はどれですか。 （ア 21 イ 15/2 ウ 21/2 エ 11/2）
- 川岸を x 軸とする座標平面上に、家 A(1, 1) と畑 B(6, 11) がある（1 目盛り 100 m）。A から川岸の点 P に寄って水をくみ、B へ行く。道のり AP + PB の最小値を目盛りの数で求めなさい。
- 3 直線 x + y = 2、2x − y = 1、y = ax + 1 が三角形を作らないような定数 a の値をすべて挙げたものはどれですか。 （ア a = 0 イ a = −1、0、2 ウ a = −1、2 エ a = 1、0、−2）
- 点 A(2, 1) と直線 y = kx + 3 の距離が √2 となるような定数 k の値はどれですか。 （ア k = 2 ± √3 イ k = −2 ± √5 ウ k = −1 ± √3 エ k = −2 ± √3）
点と直線（内分・外分・距離・直線の方程式） ── 解答
基礎
- ウ (1, 2) 内分点 ((n·x₁ + m·x₂)/(m + n), (n·y₁ + m·y₂)/(m + n))。A に 1、B に 1 をかけて 2 で割る。(1, 2)
- エ (11, 0) 外分点は内分の公式で n を −n にする：((−n·x₁ + m·x₂)/(m − n), …)。分母は 1 − 2 = −1。(11, 0)
- エ y = 3x + 6 y − (0) = 3(x − (−2))。整理して y = 3x + 6
- エ y = 2x + 5 傾き = (y₂ − y₁)/(x₂ − x₁) = (2)/(1) = 2。y − (3) = 2(x − (−1))。y = 2x + 5
- エ 51/13 d = |ax₀ + by₀ + c|/√(a² + b²) = |−51|/13 = 51/13。
- イ −1/2 傾きの積が −1。2 × (−1/2) = −1。
標準
- エ x + 2y + 6 = 0 ax + by + c = 0 に垂直な直線は bx − ay + k = 0 の形（a₁a₂ + b₁b₂ = 0）。点を代入して k を決める。x + 2y + 6 = 0
- 2 S = (1/2)|x₁y₂ − x₂y₁| = (1/2)|−4| = 2。
- イ (−1, 2) 重心は 3 点の平均：((−3)/3, (6)/3) = (−1, 2)。
- イ (−1, 0) Q(a, b)：中点が直線上 a + b = −1、PQ の傾き 1 より a − b = −1。
- エ 2x + 3y = 6 平行なら 2x + 3y = k。(3, 0) を代入して k = 6。
- 4 2 直線 a₁x + b₁y + c₁ = 0、a₂x + b₂y + c₂ = 0 が垂直 ⇔ a₁a₂ + b₁b₂ = 0。(5)·k + (4)·(−5) = 0 より k = 4。
- ア (2, 1) AC の中点は (1/2, 3/2)、AC の傾きは 3 なので垂直二等分線は y = −(1/3)x + 5/3。x = 2 を代入して y = 1。3 頂点までの距離はどれも √5（重心 (5/3, 1) と取り違えない）。
- エ (5, 4) AP : PB = 2 : 1 の内分点。((1·1 + 2·7)/3, (1·2 + 2·5)/3) = (5, 4)。比を逆にすると A に近い (3, 3)、外分にすると (13, 8) になる。
発展
- ア x = 1 (x + y − 3) + k(2x − y) = 0 に (1, −1) を代入：−3 + 3k = 0 → k = 1 → 3x − 3 = 0。（交点 (1, 2) と (1, −1) を通る x = 1）
- イ 8/5 |3 + 4 − 15|/5 = 8/5。
- ウ 21/2 A を原点に平行移動：B′(3, 4)、C′(−3, 3)。S = (1/2)|3・3 − (−3)・4| = (1/2)|9 + 12| = 21/2。
- 13 A を x 軸に関して対称移動した点 A′(1, −1) をとると AP = A′P。AP + PB = A′P + PB ≧ A′B で、P が線分 A′B と x 軸の交点 (17/12, 0) のとき等号。A′B = √(5² + 12²) = 13。
- イ a = −1、0、2 三角形ができないのは、どれか 2 本が平行のとき（傾き −1、2 と一致する a = −1、2）と、3 本が 1 点で交わるとき。最初の 2 直線の交点 (1, 1) を y = ax + 1 が通るのは a = 0。
- エ k = −2 ± √3 直線を kx − y + 3 = 0 と書くと、距離は |2k − 1 + 3|/√(k² + 1) = √2。両辺を 2 乗して (2k + 2)² = 2(k² + 1)、k² + 4k + 1 = 0、k = −2 ± √3。
受験のしらべ ／ https://juken-shirabe.com/daigaku/math/h2-04/test/ ／ 問題は毎回の表示で数が変わります。印刷したものはその一例です。
📄 紙で解くなら プリント（レベルと問題数を選べます）。このページをそのまま印刷しても各レベル 10 問と解答が出ます。