数学Ⅱ ／ 図形と方程式 ／ h2-04
点と直線 ── 内分・外分・距離・直線の方程式
この単元でできるようになること
- 2 点間の距離、内分点・外分点・中点・重心の座標が求められる
- 直線の方程式（傾きと 1 点、2 点、一般形 ax + by + c = 0）が書ける
- 2 直線の平行・垂直の条件（傾きの積が −1）が使える
- 点と直線の距離の公式が使える
- 直線に関する対称点、2 直線の交点を通る直線が求められる
入試での位置づけ
「図形と方程式」は共通テスト『数学Ⅱ，数学B，数学C』の選択・必答の大問で毎年出ます。この単元はその前半で、点と直線の距離（三角形の面積・円と直線の位置関係 h2-05 に必須）と内分点（ベクトル hc-02 と共通）が中心です。座標を使って図形の性質を計算で処理する「解析幾何」の入口。
1. 2 点間の距離・内分点・外分点
まずここだけ
A(x₁, y₁)、B(x₂, y₂) について、
距離 AB = √{(x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²}（三平方の定理）
内分点（AB を m : n に内分する点 P）： P((nx₁ + mx₂)/(m + n), (ny₁ + my₂)/(m + n)) （「たすきにかける」：A の座標に n、B の座標に m をかける）
中点：((x₁ + x₂)/2, (y₁ + y₂)/2)（1 : 1 の内分）
外分点（m : n に外分）：n を −n にする Q((−nx₁ + mx₂)/(m − n), (−ny₁ + my₂)/(m − n))
重心：3 点の座標の平均 ((x₁ + x₂ + x₃)/3, (y₁ + y₂ + y₃)/3)
A(1, 2)、B(7, 5) を 2 : 1 に内分：((1・1 + 2・7)/3, (1・2 + 2・5)/3) = (5, 4) 2 : 1 に外分：((−1・1 + 2・7)/(2 − 1), (−1・2 + 2・5)/1) = (13, 8)
2. 直線の方程式
まずここだけ
| 条件 | 式 |
|---|---|
| 傾き m、y 切片 n | y = mx + n |
| 傾き m、点 (x₁, y₁) を通る | y − y₁ = m(x − x₁) |
| 2 点 (x₁, y₁)、(x₂, y₂) を通る | y − y₁ = {(y₂ − y₁)/(x₂ − x₁)}(x − x₁) |
| x 軸に垂直（x₁ = x₂） | x = x₁ |
| 一般形 | ax + by + c = 0（傾き −a/b、x = 定数 も表せる） |
点 (2, −1) を通り傾き 3：y + 1 = 3(x − 2) → y = 3x − 7 2 点 (1, 2)、(3, 8)：傾き 3 → y − 2 = 3(x − 1) → y = 3x − 1
3. 2 直線の関係
まずここだけ
y = m₁x + n₁、y = m₂x + n₂ について、
- 平行 ⇔ m₁ = m₂（n₁ ≠ n₂）
- 垂直 ⇔ m₁ m₂ = −1
一般形 a₁x + b₁y + c₁ = 0、a₂x + b₂y + c₂ = 0 なら、
- 平行 ⇔ a₁b₂ − a₂b₁ = 0
- 垂直 ⇔ a₁a₂ + b₁b₂ = 0
直線 2x + 3y = 1 に垂直で点 (1, 1) を通る直線：傾きは 3/2（もとの傾き −2/3 の逆数の符号反転）→ y − 1 = (3/2)(x − 1) → 3x − 2y − 1 = 0
交点
連立方程式を解く。
4. 点と直線の距離
ここまでできれば十分
点 (x₀, y₀) と直線 ax + by + c = 0 の距離 d は
d = |ax₀ + by₀ + c| / √(a² + b²)
（直線は一般形に直してから。分子は絶対値）
点 (1, 2) と直線 3x − 4y + 5 = 0：|3 − 8 + 5|/√(9 + 16) = 0/5 = 0（点は直線上） 点 (3, −1) と直線 y = 2x + 1（→ 2x − y + 1 = 0）：|6 + 1 + 1|/√5 = 8/√5 = 8√5/5 原点と直線 x + y = 2：|0 + 0 − 2|/√2 = √2
三角形の面積
O(0, 0)、A(x₁, y₁)、B(x₂, y₂) の三角形の面積 S = (1/2)|x₁y₂ − x₂y₁| （3 点が原点を含まないなら、1 点を原点に平行移動してから）
A(3, 1)、B(1, 4)：S = (1/2)|12 − 1| = 11/2
5. 対称点
ここまでできれば十分
点 P を直線 l に関して対称移動した点 Q：PQ ⊥ l かつ PQ の中点が l 上。
P(3, 1) を直線 y = x に関して → Q(1, 3)（x、y を入れかえる） P(1, 2) を直線 x + y = 1 に関して：Q(a, b) とおく。中点 ((1 + a)/2, (2 + b)/2) が直線上：(1 + a)/2 + (2 + b)/2 = 1 → a + b = −1。PQ の傾き (b − 2)/(a − 1) = 1（直線の傾き −1 と垂直）→ a − b = −1。→ Q(−1, 0)
2 直線の交点を通る直線（発展）
l₁：a₁x + b₁y + c₁ = 0、l₂：a₂x + b₂y + c₂ = 0 の交点を通る直線は (a₁x + b₁y + c₁) + k(a₂x + b₂y + c₂) = 0 と書ける（k は定数）。交点を求めずに条件を代入できる。
6. よくある間違い
- 内分点の公式で m と n を逆にかける →「A に n、B に m」
- 外分で符号を変えるのは n だけ（m − n が分母）
- 点と直線の距離で、y = mx + n のまま代入する → 一般形に
- 垂直の条件で、傾きを「逆数」だけにする → −1/m（符号も変える）
7. 自己チェック
- 内分点は「たすきにかけて m + n で割る」、外分は n → −n
- 直線は「傾きと 1 点」で書けるか
- 平行は傾き同じ、垂直は積 −1（a₁a₂ + b₁b₂ = 0）
- 距離の公式は一般形・絶対値・√(a² + b²)
- 対称点は「垂直」と「中点が直線上」の 2 条件
8. 小テストへ
→ 小テスト（h2-04）
関連する単元
参考資料
- 文部科学省『高等学校学習指導要領（平成30年告示）解説 数学編 理数編』── 数学Ⅱ「(2) 図形と方程式 ア(ア) 直線と円（点と直線）」
受験のしらべ ／ https://juken-shirabe.com/daigaku/math/h2-04/ ／ 更新 2026-09-12