円の方程式・円と直線 ── 問題
基礎
- 円 x² − 8x + y² + 4y + 11 = 0 の中心の座標と半径を求めなさい。 （ア 中心 (4, −2)、半径 3 イ 中心 (−4, 2)、半径 3 ウ 中心 (4, −2)、半径 9 エ 中心 (8, −4)、半径 3）
- 中心が (−2, 3) で、点 (4, −1) を通る円の方程式を求めなさい。 （ア (x + 2)² + (y − 3)² = 2√13 イ (x − 4)² + (y + 1)² = 52 ウ (x + 2)² + (y − 3)² = 52 エ (x − 2)² + (y + 3)² = 52）
- 円 x² + y² = 36 と直線 5x + 12y + 26 = 0 の位置関係を答えなさい。 （ア 接する イ 共有点をもたない ウ 2 点で交わる）
- 円 x² + y² = 169 上の点 (5, 12) における接線の方程式を求めなさい。 （ア 5x + 12y = 13 イ 5x + 12y = 169 ウ 5x − 12y = 169 エ 12x + 5y = 169）
- 円 x² + y² = 169 が直線 5x + 12y + 119 = 0 から切り取る弦の長さを求めなさい。
- x² + y² − 4x + 6y + 4 = 0 が表す円の中心と半径はどれですか。 （ア 中心 (4, −6)、半径 2 イ 中心 (−2, 3)、半径 3 ウ 中心 (2, −3)、半径 9 エ 中心 (2, −3)、半径 3）
- 図の円の方程式を求めなさい。 （ア x² + (y − 2)² = 9 イ x² + (y + 2)² = 9 ウ x² + (y − 2)² = 3 エ (x − 2)² + y² = 9）
標準
- 円 x² + y² = 25 と直線 y = −x + k が接するような定数 k の値を求めなさい。 （ア k = ±25√2 イ k = 5√2 ウ k = ±5√2 エ k = ±10 undefined k = ±5）
- 3 点 (0, 0)、(4, 0)、(0, −8) を通る円の方程式を求めなさい。 （ア x² + y² − 4x + 8y = 0 イ x² + y² − 4x + 8y − 32 = 0 ウ x² + y² + 4x − 8y = 0 エ (x − 4)² + (y + 8)² = 80）
- 中心が (4, −5) で x 軸に接する円の方程式を求めなさい。 （ア (x − 4)² + (y + 5)² = 16 イ (x − 4)² + (y + 5)² = 25 ウ (x + 4)² + (y − 5)² = 25 エ (x − 4)² + (y + 5)² = 5）
- 点 (5, 0) から円 x² + y² = 5 に引いた接線はどれですか。 （ア x = 5 イ x + 2y = 5 と x − 2y = 5 ウ 2x + y = 5 と 2x − y = 5 エ x + 2y = √5 と x − 2y = √5）
- 円 x² + y² = 25 と直線 3x + 4y = 15 が切り取る弦の長さはどれですか。 （ア 4 イ 10 ウ 8 エ 6）
- 点 P(−2, −1) から円 x² + y² = 4 に接線を引き、接点を T とする。線分 PT の長さを求めなさい。
- 3 点 A(1, 1)、B(5, 1)、C(1, 3) を通る円を求めている。 太郎：x² + y² + lx + my + n = 0 に 3 点を代入して連立すればいいね。 花子：∠A が直角だから、BC が直径になるはずだよ。 花子さんの方法で求めた円の中心と半径の組み合わせはどれですか。 （ア 中心 (3, 1)、半径 2 イ 中心 (3, 2)、半径 √5 ウ 中心 (7/3, 5/3)、半径 √5 エ 中心 (3, 2)、半径 2√5）
- 地図上で電波塔を原点 O に置き、1 目盛りを 1 km とする。電波が届くのは O から 5 km 以内である。まっすぐな道路 x + 2y = 10 のうち、電波が届く区間の長さはどれですか。 （ア 2√10 km イ √5 km ウ 4 km エ 2√5 km）
発展
- 2 円 x² + y² = 4 と (x − 3)² + y² = 1 の位置関係はどれですか。 （ア 離れている イ 外接する ウ 内接する エ 2 点で交わる）
- x² + y² − 2x + 4y + k = 0 が円を表す k の範囲はどれですか。 （ア k ≦ 5 イ k > 5 ウ k < −5 エ k < 5）
- 円 x² + y² = 10 と直線 y = x + 2 の交点の座標はどれですか。 （ア (−1, 1) と (3, 5) イ (1, 3) と (−3, −1) ウ (1, 3) と (3, 1) エ (2, 4) と (−2, 0)）
- 円 x² + y² = 4 と直線 y = x + k が 2 点で交わり、切り取られる弦の長さが 2√2 以上になるような k の範囲はどれですか。 （ア −2√2 < k < 2√2 イ k ≦ −2、2 ≦ k ウ −√2 ≦ k ≦ √2 エ −2 ≦ k ≦ 2）
- 2 つの円 x² + y² = 10 と x² + y² − 6x − 2y + 6 = 0 は 2 点で交わる。 太郎：2 つの式を辺々引くと x² と y² が消えるね。 花子：2 つの交点の座標はどちらの式も満たすから、引いてできた式も満たすよ。 2 つの交点を通る直線の方程式はどれですか。 （ア x + 3y = 8 イ 3x − y = 8 ウ 3x + y = 8 エ 3x + y = 2）
円の方程式・円と直線 ── 解答
基礎
- ア 中心 (4, −2)、半径 3 x、y をそれぞれ平方完成：(x − 4)² + (y + 2)² = 9。中心 (4, −2)、半径 3
- ウ (x + 2)² + (y − 3)² = 52 r² = (4 − (−2))² + (−1 − (3))² = 52。(x + 2)² + (y − 3)² = 52
- ウ 2 点で交わる 中心 (0, 0) と直線の距離 d = |26|/13 = 2、半径 r = 6。d と r を比べて 2 点で交わる。
- イ 5x + 12y = 169 円 x² + y² = r² 上の点 (x₁, y₁) における接線は x₁x + y₁y = r²。5x + 12y = 169
- 240/13 中心と直線の距離 d = 119/13。弦の長さ = 2√(r² − d²) = 240/13。
- エ 中心 (2, −3)、半径 3 (x − 2)² + (y + 3)² = 4 + 9 − 4 = 9。
- ア x² + (y − 2)² = 9 中心 (0, 2)、半径 3 の円は (x − a)² + (y − b)² = r²。x² + (y − 2)² = 9。
標準
- ウ k = ±5√2 中心 (0, 0) と直線 −x − y + k = 0 の距離 |k|/√2 が半径 5 に等しい。|k| = 5√2。k = ±5√2
- ア x² + y² − 4x + 8y = 0 x² + y² + lx + my + n = 0 に 3 点を代入：n = 0、(4)² + (4)l = 0 → l = −4、同様に m = 8。中心 (2, −4)。x² + y² − 4x + 8y = 0
- イ (x − 4)² + (y + 5)² = 25 x 軸に接するので半径 = 中心の y 座標の絶対値 |−5|。r² = 25。(x − 4)² + (y + 5)² = 25
- イ x + 2y = 5 と x − 2y = 5 接点 (x₁, y₁)：5x₁ = 5 → x₁ = 1、y₁ = ±2。接線 x ± 2y = 5。
- ウ 8 d = 15/5 = 3。2√(25 − 9) = 8。
- 1 円の中心 O と接点 T を結ぶと OT ⊥ PT。三平方の定理より PT² = OP² − OT² = 5 − 4 = 1。PT = 1。
- イ 中心 (3, 2)、半径 √5 AB は x 軸に平行、AC は y 軸に平行なので ∠A = 90°。直角三角形の外接円は斜辺 BC が直径。中心は BC の中点 (3, 2)、半径は BC/2 = √20/2 = √5。
- エ 2√5 km O と道路の距離は |−10|/√(1 + 4) = 2√5。届く区間は円 x² + y² = 25 が切り取る弦で、長さは 2√(25 − 20) = 2√5 km（約 4.5 km）。
発展
- イ 外接する 中心間距離 3 = 2 + 1。
- エ k < 5 (x − 1)² + (y + 2)² = 5 − k。右辺が正であればよい。
- イ (1, 3) と (−3, −1) x² + (x + 2)² = 10 → 2x² + 4x − 6 = 0 → x = 1、−3。
- エ −2 ≦ k ≦ 2 中心と直線の距離 d = |k|/√2。弦の長さ 2√(4 − d²) ≧ 2√2 より d² ≦ 2、k² ≦ 4。このとき d < 2 なので 2 点で交わる条件も満たす。
- ウ 3x + y = 8 辺々引くと 6x + 2y − 6 = 10、つまり 3x + y = 8。2 交点はこの 1 次式を満たすので、交点を通る直線は 3x + y = 8（交点は (3, −1) と (9/5, 13/5)）。
受験のしらべ ／ https://juken-shirabe.com/daigaku/math/h2-05/test/ ／ 問題は毎回の表示で数が変わります。印刷したものはその一例です。
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