数学Ⅱ ／ 図形と方程式 ／ h2-05

更新 2026-09-12

円の方程式・円と直線

この単元でできるようになること

• 中心 (a, b)、半径 r の円の方程式 (x − a)² + (y − b)² = r² が書ける
• 一般形 x² + y² + lx + my + n = 0 を平方完成して中心・半径を求められる
• 3 点を通る円、x 軸に接する円などの条件から円を決められる
• 円と直線の位置関係を「中心と直線の距離 d と r の比較」または「判別式」で判定できる
• 円の接線の方程式（円上の点における接線・円外の点から引く接線）が求められる
• 弦の長さ、2 円の位置関係が求められる

入試での位置づけ

共通テスト『数学Ⅱ，数学B，数学C』の図形と方程式の大問では、円と直線の位置関係（d と r の比較）と接線がほぼ毎年の中心です。h2-04 の「点と直線の距離」をそのまま使うので、両方セットで練習します。軌跡（h2-06）でも円が答えになることが多い。

1. 円の方程式

まずここだけ

中心 (a, b)、半径 r：(x − a)² + (y − b)² = r²

中心 (2, −1)、半径 3：(x − 2)² + (y + 1)² = 9 原点中心、半径 √5：x² + y² = 5

一般形 → 標準形

x² + y² + lx + my + n = 0 は、x と y それぞれを平方完成する。

x² + y² − 4x + 6y + 4 = 0 (x − 2)² − 4 + (y + 3)² − 9 + 4 = 0 → (x − 2)² + (y + 3)² = 9 → 中心 (2, −3)、半径 3

右辺が正になるときだけ円を表す（0 なら 1 点、負なら図形なし）。

円を決める

3 点 (0, 0)、(4, 0)、(0, 2)：n = 0、16 + 4l = 0 → l = −4、4 + 2m = 0 → m = −2 → x² + y² − 4x − 2y = 0 → 中心 (2, 1)、半径 √5

2. 円と直線の位置関係

まずここだけ

円の中心と直線の距離を d、半径を r とすると、

円 x² + y² = 5 と直線 y = 2x + k が接する k 中心 (0, 0) と 2x − y + k = 0 の距離 |k|/√5 = √5 → |k| = 5 → k = ±5

判別式でも解ける：y = 2x + k を代入 → x² + (2x + k)² = 5 → 5x² + 4kx + k² − 5 = 0、D/4 = 4k² − 5(k² − 5) = 0 → k² = 25。 距離のほうが計算が軽いことが多い。

弦の長さ

中心から弦に下ろした垂線は弦を二等分する。弦の長さ = 2√(r² − d²)。

円 x² + y² = 25 と直線 3x + 4y = 15：d = 15/5 = 3、弦 = 2√(25 − 9) = 8

3. 円の接線

ここまでできれば十分

円 x² + y² = r² 上の点 (x₁, y₁) における接線：x₁x + y₁y = r²

x² + y² = 25 上の点 (3, 4) における接線：3x + 4y = 25

（円 (x − a)² + (y − b)² = r² なら (x₁ − a)(x − a) + (y₁ − b)(y − b) = r²）

円外の点から引く接線：

• 方法 1：接点を (x₁, y₁) とおき、接線 x₁x + y₁y = r² が与えられた点を通る条件 ＋ 接点が円上にある条件
• 方法 2：傾き m の直線 y = m(x − p) + q とおき、中心との距離 = r

点 (5, 0) から円 x² + y² = 5 に引いた接線 接点 (x₁, y₁)：5x₁ = 5 → x₁ = 1、x₁² + y₁² = 5 → y₁ = ±2 → 接線 x ± 2y = 5

4. 2 つの円

ここまでできれば十分

中心間距離 d と半径 r₁、r₂（ha-06 と同じ）：

2 円の交点を通る直線（発展）：2 円の式を引く（x²、y² が消えて 1 次式になる）。 2 円の交点を通る円：(円 1) + k(円 2) = 0。

5. よくある間違い

• 一般形を標準形にするとき、平方完成で引いた数を右辺に移し忘れる
• d の計算で直線を一般形に直していない
• 接線の公式 x₁x + y₁y = r² を、円上にない点に使う（円外の点には使えない）
• 弦の長さで √(r² − d²) を 2 倍し忘れる

6. 自己チェック

1. 円の方程式は平方完成で中心・半径にできたか
2. 3 点を通る円は一般形に代入
3. 位置関係は d と r の比較（判別式でも可）
4. 弦 = 2√(r² − d²)
5. 円上の点の接線は x₁x + y₁y = r²、円外の点からは距離 = r

7. 小テストへ

→ 小テスト（h2-05）

関連する単元

• 前提：h2-04 点と直線（距離）、h1-08 判別式
• 次に進む：h2-06 軌跡と領域
• ここで使う考え方が出てくる：hc-04 二次曲線、hc-05 複素数平面（円）

参考資料

• 文部科学省『高等学校学習指導要領（平成30年告示）解説 数学編 理数編』── 数学Ⅱ「(2) 図形と方程式 ア(ア) 直線と円（円の方程式、円と直線）」

受験のしらべ ／ https://juken-shirabe.com/daigaku/math/h2-05/ ／ 更新 2026-09-12

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