軌跡と領域 ── 問題
基礎
- 2 点 A(1, −2)、B(3, −4) から等距離にある点 P の軌跡を求めなさい。 （ア 円 (x − 2)² + (y + 3)² = 2 イ 直線 x − y − 5 = 0 ウ 直線 −x + y − 5 = 0 エ 直線 x − y + 5 = 0）
- 点 Q が円 x² + y² = 9 上を動くとき、点 A(−6, 0) と Q を結ぶ線分 AQ の中点 P の軌跡を求めなさい。 （ア 円 (x + 3)² + y² = 9 イ 円 (x − 3)² + y² = 9/4 ウ 円 (x + 6)² + y² = 9/4 エ 円 (x + 3)² + y² = 9/4）
- 不等式 y > 2x + 1 の表す領域はどれですか。 （ア 直線 y = 2x + 1 の上側（境界を含む） イ 直線 y = x の上側（境界を含む） ウ 直線 y = 2x + 1 の下側（境界を含まない） エ 直線 y = 2x + 1 の上側（境界を含まない））
- x ≧ 0、y ≧ 0、x + y ≦ 8 のとき、3x + 5y の最大値を求めなさい。
- 2 点 A(−1, 0)、B(2, 0) からの距離の比が 2 : 1 である点 P の軌跡はどれですか。 （ア 中心 (3, 0)、半径 2 の円 イ 中心 (1, 0)、半径 2 の円 ウ 直線 x = 1 エ 中心 (3, 0)、半径 4 の円）
標準
- 2 点 A(1, 0)、B(4, 0) からの距離の比が 1 : 2 である点 P の軌跡を求めなさい。 （ア 中心 (5, 0)、半径 2 の円 イ 中心 (0, 0)、半径 2 の円 ウ 中心 (0, 0)、半径 4 の円 エ AB の垂直二等分線 x = 5/2）
- x ≧ 0、y ≧ 0、x + 2y ≦ 18、2x + y ≦ 18 のとき、x + y の最大値を求めなさい。
- 不等式 (x − y)(x + y + 4) > 0 の表す領域として正しいものはどれですか。 （ア x − y > 0 または x + y + 4 > 0 イ 「x − y > 0 かつ x + y + 4 < 0」または「x − y < 0 かつ x + y + 4 > 0」 ウ 「x − y > 0 かつ x + y + 4 > 0」または「x − y < 0 かつ x + y + 4 < 0」 エ x − y > 0 かつ x + y + 4 > 0）
- x² + y² ≦ 4 のとき、x + y の最大値はどれですか。 （ア √2 イ 4 ウ 2√2 エ 2）
- 点 Q が直線 y = 2x 上を動くとき、A(2, 0) と Q の中点 P の軌跡はどれですか。 （ア 直線 y = 2x + 2 イ 直線 y = 2x − 2 ウ 直線 y = 2x エ 直線 y = x − 1）
発展
- x ≧ 0、y ≧ 0、x + 2y ≦ 6、2x + y ≦ 6 のとき、x² + y² の最大値と最小値の組み合わせはどれですか。 （ア 最大 8、最小 0 イ 最大 18、最小 0 ウ 最大 9、最小 0 エ 最大 9、最小 4）
- 「x² + y² ≦ 4 ならば x + y ≦ k」が成り立つような k の最小値はどれですか。 （ア √2 イ 2 ウ 4 エ 2√2）
- 1 ≦ x ≦ 3、1 ≦ y ≦ 2 のとき、y/x の最大値はどれですか。 （ア 3 イ 1 ウ 2/3 エ 2）
軌跡と領域 ── 解答
基礎
- イ 直線 x − y − 5 = 0 P(x, y) とおき PA² = PB²。(x − (1))² + (y − (−2))² = (x − (3))² + (y − (−4))² を整理すると 2 次の項が消え、AB の垂直二等分線になる。直線 x − y − 5 = 0
- エ 円 (x + 3)² + y² = 9/4 Q(s, t)、P(x, y) とおくと x = ((−6) + s)/2、y = t/2 → s = 2x − (−6)、t = 2y。s² + t² = 9 に代入し 4 で割ると 円 (x + 3)² + y² = 9/4（中心 (−3, 0)、半径 3/2）。
- エ 直線 y = 2x + 1 の上側（境界を含まない） y > f(x) は上側、< は下側。円は < が内部、> が外部。等号があれば境界を含む。直線 y = 2x + 1 の上側（境界を含まない）
- 40 領域は (0, 0)、(8, 0)、(0, 8) の三角形。3x + 5y = k とおくと直線 y = −(3/5)x + k/5。k が最大になるのは頂点 (0, 8) を通るとき。最大値 40。
- ア 中心 (3, 0)、半径 2 の円 PA² = 4PB² を整理すると (x − 3)² + y² = 4。アポロニウスの円。
標準
- イ 中心 (0, 0)、半径 2 の円 PA : PB = 1 : 2 → 4PA² = 1PB²。P(x, y) を代入して整理すると円（アポロニウスの円）。中心 (0, 0)、半径 2 の円
- 12 領域は (0, 0)、(9, 0)、(6, 6)、(0, 9) の四角形。x + y = k は傾き −1。傾きが辺の傾き −1/2 と −2 の間なので頂点 (6, 6) で最大。最大値 12。
- ウ 「x − y > 0 かつ x + y + 4 > 0」または「x − y < 0 かつ x + y + 4 < 0」 AB > 0 ⇔ A、B が同符号。2 直線で 4 つに分けた領域のうち、向かい合う 2 つ。「x − y > 0 かつ x + y + 4 > 0」または「x − y < 0 かつ x + y + 4 < 0」
- ウ 2√2 x + y = k が円と接するとき：|k|/√2 = 2 → k = 2√2。
- イ 直線 y = 2x − 2 Q(s, 2s)、P(x, y)：x = (2 + s)/2、y = s → s = 2x − 2 → y = 2x − 2。
発展
- ウ 最大 9、最小 0 原点からの距離の 2 乗。最も遠い頂点 (3, 0) または (0, 3) で 9、原点で 0。（(2, 2) は 8）
- エ 2√2 円全体が直線の下側にある条件：中心と直線の距離 k/√2 ≧ 2。
- エ 2 y/x = k は原点を通る直線の傾き。長方形の左上の頂点 (1, 2) で最大 2。
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