高校数学英語理科社会国語中学数学英語理科社会国語

小テスト ／ h2-06

軌跡と領域

← 解説に戻る　高校数学の単元一覧

レベルを選ぶ（最大10問。数を変えた問題が毎回出ます）

パソコンなら 1〜5 キーで選択、Enter で次へ

軌跡と領域 ── 問題

基礎

  1. 2 点 A(2, −3)、B(−2, 1) から等距離にある点 P の軌跡を求めなさい。　（ア 直線 x − y − 1 = 0　イ 直線 x − y + 1 = 0　ウ 直線 x − y = 0　エ 円 x² + (y + 1)² = 8）
  2. 点 Q が円 x² + y² = 4 上を動くとき、点 A(2, 0) と Q を結ぶ線分 AQ の中点 P の軌跡を求めなさい。　（ア 円 (x − 1)² + y² = 4　イ 円 (x − 1)² + y² = 1　ウ 円 (x + 1)² + y² = 1　エ 円 (x − 2)² + y² = 1）
  3. 不等式 x² + y² < 9 の表す領域はどれですか。　（ア 中心 (0, 0)、半径 3 の円の内部（境界を含む）　イ 中心 (0, 0)、半径 3 の円の外部（境界を含まない）　ウ 直線 y = x の上側（境界を含む）　エ 中心 (0, 0)、半径 3 の円の内部（境界を含まない））
  4. x ≧ 0、y ≧ 0、x + y ≦ 4 のとき、5x + 2y の最大値を求めなさい。
  5. 2 点 A(−1, 0)、B(2, 0) からの距離の比が 2 : 1 である点 P の軌跡はどれですか。　（ア 中心 (3, 0)、半径 2 の円　イ 中心 (1, 0)、半径 2 の円　ウ 直線 x = 1　エ 中心 (3, 0)、半径 4 の円）

標準

  1. 2 点 A(−1, 0)、B(2, 0) からの距離の比が 2 : 1 である点 P の軌跡を求めなさい。　（ア AB の垂直二等分線 x = 1/2　イ 中心 (−2, 0)、半径 2 の円　ウ 中心 (3, 0)、半径 2 の円　エ 中心 (3, 0)、半径 4 の円）
  2. x ≧ 0、y ≧ 0、x + 2y ≦ 6、2x + y ≦ 6 のとき、x + y の最大値を求めなさい。
  3. 不等式 (x − y)(x + y + 1) > 0 の表す領域として正しいものはどれですか。　（ア x − y > 0 かつ x + y + 1 > 0　イ 「x − y > 0 かつ x + y + 1 < 0」または「x − y < 0 かつ x + y + 1 > 0」　ウ 「x − y > 0 かつ x + y + 1 > 0」または「x − y < 0 かつ x + y + 1 < 0」　エ x − y > 0 または x + y + 1 > 0）
  4. x² + y² ≦ 4 のとき、x + y の最大値はどれですか。　（ア √2　イ 4　ウ 2√2　エ 2）
  5. 点 Q が直線 y = 2x 上を動くとき、A(2, 0) と Q の中点 P の軌跡はどれですか。　（ア 直線 y = 2x + 2　イ 直線 y = 2x − 2　ウ 直線 y = 2x　エ 直線 y = x − 1）
  6. 工場で製品 A、B を作る。A を 1 個作るには原料 X が 3 kg、原料 Y が 3 kg、B を 1 個作るには X が 2 kg、Y が 3 kg 必要で、使える量は X が 12 kg、Y が 15 kg である。1 個あたりの利益が A は 3 万円、B は 3 万円のとき、利益の最大値は何万円か求めなさい（作る個数は 0 以上の整数）。
  7. t が実数全体を動くとき、放物線 y = x² − 2tx + 2t の頂点 P の軌跡を求めたい。 太郎：まず頂点の座標を t で表そう。 花子：x と y の式から t を消去すれば軌跡の方程式になるね。 P の軌跡はどれですか。　（ア 放物線 y = −x² + 2x の x > 0 の部分　イ 放物線 y = x² − 2x　ウ 放物線 y = −x² + 2x　エ 直線 y = 2x）
  8. 地図上に駅 A(0, 0) と駅 B(4, 2) がある。B より A のほうが（直線距離で）近い地点 P(x, y) 全体を表す不等式はどれですか。　（ア 2x + y > 5　イ 2x + y < 5　ウ 2x − y < 3　エ x + 2y < 5）

発展

  1. x ≧ 0、y ≧ 0、x + 2y ≦ 6、2x + y ≦ 6 のとき、x² + y² の最大値と最小値の組み合わせはどれですか。　（ア 最大 8、最小 0　イ 最大 18、最小 0　ウ 最大 9、最小 0　エ 最大 9、最小 4）
  2. 「x² + y² ≦ 4 ならば x + y ≦ k」が成り立つような k の最小値はどれですか。　（ア √2　イ 2　ウ 4　エ 2√2）
  3. 1 ≦ x ≦ 3、1 ≦ y ≦ 2 のとき、y/x の最大値はどれですか。　（ア 3　イ 1　ウ 2/3　エ 2）
  4. 点 (x, y) が円 (x − 1)² + (y + 3)² = 16 上を動くとき、4x + 3y の最大値を求めなさい。
  5. x、y が x ≧ 0、y ≧ 0、x + y ≦ 4、x + 3y ≦ 6 を満たすとき、ax + y が点 (3, 1) で最大値をとるような定数 a の範囲はどれですか。　（ア 1 ≦ a ≦ 3　イ 1/3 ≦ a ≦ 1　ウ a ≧ 1/3　エ −1 ≦ a ≦ −1/3）
  6. t が実数全体を動くとき、直線 y = 2tx − t² が通る点 (x, y) 全体の範囲を求めたい。 太郎：t についての方程式 t² − 2xt + y = 0 と見なおせるね。 花子：点 (x, y) を通る直線があるのは、この式を満たす実数 t があるときだよ。 求める範囲はどれですか。　（ア x² + y² ≦ 1 の部分　イ y < x² の部分　ウ y ≧ x² の部分　エ y ≦ x² の部分）

軌跡と領域 ── 解答

基礎

  1. ア　直線 x − y − 1 = 0　P(x, y) とおき PA² = PB²。(x − (2))² + (y − (−3))² = (x − (−2))² + (y − (1))² を整理すると 2 次の項が消え、AB の垂直二等分線になる。直線 x − y − 1 = 0
  2. イ　円 (x − 1)² + y² = 1　Q(s, t)、P(x, y) とおくと x = (2 + s)/2、y = t/2 → s = 2x − (2)、t = 2y。s² + t² = 4 に代入し 4 で割ると 円 (x − 1)² + y² = 1（中心 (1, 0)、半径 1）。
  3. エ　中心 (0, 0)、半径 3 の円の内部（境界を含まない）　y > f(x) は上側、< は下側。円は < が内部、> が外部。等号があれば境界を含む。中心 (0, 0)、半径 3 の円の内部（境界を含まない）
  4. 20　領域は (0, 0)、(4, 0)、(0, 4) の三角形。5x + 2y = k とおくと直線 y = −5x/2 + k/2。k が最大になるのは頂点 (4, 0) を通るとき。最大値 20。
  5. ア　中心 (3, 0)、半径 2 の円　PA² = 4PB² を整理すると (x − 3)² + y² = 4。アポロニウスの円。

標準

  1. ウ　中心 (3, 0)、半径 2 の円　PA : PB = 2 : 1 → PA² = 4PB²。P(x, y) を代入して整理すると円（アポロニウスの円）。中心 (3, 0)、半径 2 の円
  2. 4　領域は (0, 0)、(3, 0)、(2, 2)、(0, 3) の四角形。x + y = k は傾き −1。傾きが辺の傾き −1/2 と −2 の間なので頂点 (2, 2) で最大。最大値 4。
  3. ウ　「x − y > 0 かつ x + y + 1 > 0」または「x − y < 0 かつ x + y + 1 < 0」　AB > 0 ⇔ A、B が同符号。2 直線で 4 つに分けた領域のうち、向かい合う 2 つ。「x − y > 0 かつ x + y + 1 > 0」または「x − y < 0 かつ x + y + 1 < 0」
  4. ウ　2√2　x + y = k が円と接するとき：|k|/√2 = 2 → k = 2√2。
  5. イ　直線 y = 2x − 2　Q(s, 2s)、P(x, y)：x = (2 + s)/2、y = s → s = 2x − 2 → y = 2x − 2。
  6. 15　A を x 個、B を y 個とすると 3x + 2y ≦ 12、3x + 3y ≦ 15、x ≧ 0、y ≧ 0。この領域の頂点は (0, 0)、(4, 0)、(2, 3)、(0, 5)。利益 3x + 3y を各頂点で比べると、最大は 15 万円。
  7. ウ　放物線 y = −x² + 2x　y = (x − t)² − t² + 2t より頂点は P(t, −t² + 2t)。x = t を代入して y = −x² + 2x。t は実数全体を動くので x も実数全体を動き、放物線全体が軌跡。
  8. イ　2x + y < 5　PA < PB の両辺を 2 乗して x² + y² < (x − 4)² + (y − 2)²。整理すると 8x + 4y < 20、つまり 2x + y < 5（AB の垂直二等分線より A 側）。

発展

  1. ウ　最大 9、最小 0　原点からの距離の 2 乗。最も遠い頂点 (3, 0) または (0, 3) で 9、原点で 0。（(2, 2) は 8）
  2. エ　2√2　円全体が直線の下側にある条件：中心と直線の距離 k/√2 ≧ 2。
  3. エ　2　y/x = k は原点を通る直線の傾き。長方形の左上の頂点 (1, 2) で最大 2。
  4. 15　4x + 3y = k とおくと、直線 4x + 3y − k = 0 と円が共有点をもつ条件は、中心 (1, −3) と直線の距離が半径 4 以下：|−5 − k|/5 ≦ 4。k の最大値は −5 + 4·5 = 15。
  5. イ　1/3 ≦ a ≦ 1　ax + y = k は傾き −a の直線。頂点 (3, 1) で k が最大になるのは、傾き −a が (3, 1) で交わる 2 辺の傾き −1（x + y = 4）と −1/3（x + 3y = 6）の間にあるとき。−1 ≦ −a ≦ −1/3 より 1/3 ≦ a ≦ 1。
  6. エ　y ≦ x² の部分　t² − 2xt + y = 0 が実数解 t をもつ条件は判別式 D/4 = x² − y ≧ 0。よって y ≦ x²（境界の放物線を含む。各直線はこの放物線の接線）。

受験のしらべ ／ https://juken-shirabe.com/daigaku/math/h2-06/test/ ／ 問題は毎回の表示で数が変わります。印刷したものはその一例です。

📄 紙で解くなら プリント（レベルと問題数を選べます）。このページをそのまま印刷しても各レベル 10 問と解答が出ます。