加法定理・2倍角・合成 ── 問題
基礎
- 加法定理を使って tan 15° の値を求めなさい。 （ア √3 − 2 イ 2 + √3 ウ 2 − √3）
- α は鋭角で sin α = 12/13 のとき、sin 2α と cos 2α の値を求めなさい。 （ア sin 2α = 120/169、cos 2α = 119/169 イ sin 2α = 120/169、cos 2α = −119/169 ウ sin 2α = 60/169、cos 2α = −119/169 エ sin 2α = 24/13、cos 2α = 10/13）
- sin θ − √3 cos θ を r sin(θ + α) の形に合成しなさい（r > 0、−π < α ≦ π）。 （ア 2 sin(θ + π/3) イ 2 sin(θ + π/6) ウ 2 sin(θ − π/3) エ √2 sin(θ + π/4)）
- 関数 y = 3 sin θ + 4 cos θ の最大値と最小値を求めなさい。 （ア 最大値 5、最小値 −5 イ 最大値 1、最小値 −1 ウ 最大値 5、最小値 −1 エ 最大値 5、最小値 0）
- cos 2α を sin α だけで表したものはどれですか。 （ア 1 − sin²α イ 2sin²α − 1 ウ 1 − 2sin²α エ 2 sin α cos α）
標準
- α は第 2 象限の角で sin α = 5/13、β は第 1 象限の角で cos β = 12/13 のとき、sin(α + β) の値を求めなさい。 （ア 0 イ −120/169 ウ 120/169 エ −119/169）
- 0 ≦ θ < 2π のとき、方程式 cos 2θ + 3cos θ + 2 = 0 を解きなさい。 （ア θ = 0、π/2 イ θ = 0、π/3、π、5π/3 ウ θ = 0、2π/3、4π/3 エ θ = 2π/3、π、4π/3）
- 2 直線 y = 3x と y = 2x のなす鋭角 θ について、tan θ の値を求めなさい。 （ア 1/7 イ 5/7 ウ 8/7 エ 1/5）
- 0 ≦ θ ≦ π のとき、y = sin θ + √3 cos θ の最大値と最小値の組み合わせはどれですか。 （ア 最大 2、最小 0 イ 最大 √3、最小 −√3 ウ 最大 2、最小 −2 エ 最大 2、最小 −√3）
- sin²(π/8) の値はどれですか。 （ア (2 + √2)/4 イ √2/4 ウ 1/4 エ (2 − √2)/4）
- 図は点 (a, b) = (1, −1) を図示したものです。sin θ − cos θ を r sin(θ + α) の形に合成したものを選びなさい（α は図の角）。 （ア √2 sin(θ + π/4) イ √2 sin(θ − π/4) ウ 2 sin(θ − π/4) エ √2 sin(θ + 3π/4)）
- sin θ + cos θ = 4/5 のとき、sin 2θ の値を求めなさい。
- cos 3θ を cos θ だけで表したい。 太郎：cos 3θ = cos(2θ + θ) として加法定理を使えばいいね。 花子：途中に出る sin 2θ sin θ は 2sin²θ cos θ になるから、sin²θ = 1 − cos²θ で書きかえよう。 結果として正しいものはどれですか。 （ア 3cos θ − 4cos³θ イ 4cos³θ − 3cos θ ウ 4cos³θ + 3cos θ エ 2cos³θ − cos θ）
- スピーカー A、B から出る音の波を、時刻 t の式 y = sin t、y = √3 cos t で表す。2 つを重ねた波 y = sin t + √3 cos t について、振幅（最大値）と、t ≧ 0 で初めて最大になる t の組み合わせはどれですか。 （ア 振幅 2、t = π/6 イ 振幅 2、t = π/3 ウ 振幅 √3、t = π/2 エ 振幅 1 + √3、t = π/6）
発展
- tan α = 2、tan β = 3 のとき、tan(α + β) の値はどれですか。 （ア 5/7 イ −5 ウ 1 エ −1）
- y = sin²θ + 2 sin θ cos θ + 3cos²θ を 2θ の三角関数で表したものはどれですか。 （ア 2 + sin 2θ + cos 2θ イ 3 + sin 2θ − cos 2θ ウ 2 + 2sin 2θ エ 1 + sin 2θ + cos 2θ）
- y = sin 2θ + cos 2θ の最大値はどれですか。 （ア √2 イ 1/2 ウ 1 エ 2）
- 0 ≦ θ ≦ π/2 のとき、y = 8sin θ + 15cos θ の最大値と最小値の和を求めなさい。
- 0 ≦ θ < 2π のとき、関数 y = cos 2θ + 2sin θ の最大値と、そのときの θ の組み合わせはどれですか。 （ア 最大値 1（θ = π/2） イ 最大値 3/2（θ = π/3、2π/3） ウ 最大値 3/2（θ = π/6、5π/6） エ 最大値 3（θ = π/2））
- 壁の、地面からの高さ 2 m から 8 m の部分に縦長の看板がある。壁から x m 離れた地面の点から看板の下端・上端を見上げる角を α、β とし、看板を見込む角 θ = β − α が最大になる x を考える（目の高さは 0 とする）。 太郎：tan β = 8/x、tan α = 2/x だから、tan θ は加法定理で表せるね。 花子：tan θ = 6x/(x² + 16) になるから、分母と分子を x で割って相加平均と相乗平均の関係を使おう。 θ が最大になる x と、そのときの tan θ の組み合わせはどれですか。 （ア x = 5、tan θ = 3/4 イ x = 4、tan θ = 3/4 ウ x = 4、tan θ = 3/5 エ x = 8、tan θ = 6/5）
加法定理・2倍角・合成 ── 解答
基礎
- ウ 2 − √3 15° = 45° − 30° として加法定理。2 − √3
- イ sin 2α = 120/169、cos 2α = −119/169 cos α = 5/13（鋭角で正）。sin 2α = 2 sin α cos α、cos 2α = cos²α − sin²α。sin 2α = 120/169、cos 2α = −119/169
- ウ 2 sin(θ − π/3) sin の係数 a、cos の係数 b で点 (a, b) をとる。r = √(a² + b²)、α は点 (a, b) の角。2 sin(θ − π/3)
- ア 最大値 5、最小値 −5 合成すると 5 sin(θ + α)。−1 ≦ sin(θ + α) ≦ 1 なので 最大値 5、最小値 −5。
- ウ 1 − 2sin²α cos 2α = cos²α − sin²α = (1 − sin²α) − sin²α = 1 − 2sin²α。
標準
- ア 0 第 2 象限なので cos α = −12/13（負）、第 1 象限なので sin β = 5/13（正）。sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β = 0。
- エ θ = 2π/3、π、4π/3 2 倍角の公式で θ だけの式にして因数分解。θ = 2π/3、π、4π/3
- ア 1/7 tan θ = |(m₁ − m₂)/(1 + m₁m₂)| = |1/(7)| = 1/7。
- エ 最大 2、最小 −√3 2 sin(θ + π/3)、π/3 ≦ θ + π/3 ≦ 4π/3。sin の最大 1（θ + π/3 = π/2）、最小 −√3/2（θ + π/3 = 4π/3）。
- エ (2 − √2)/4 半角の公式：(1 − cos(π/4))/2 = (1 − √2/2)/2。
- イ √2 sin(θ − π/4) r = √(a² + b²) = √2。点 (1, −1) と x 軸の角が α なので α = −π/4（符号と分母に注意）。よって sin θ − cos θ = √2 sin(θ − π/4)。
- −9/25 両辺を 2 乗すると sin²θ + 2sin θ cos θ + cos²θ = 16/25。sin²θ + cos²θ = 1、2sin θ cos θ = sin 2θ なので sin 2θ = 16/25 − 1 = −9/25。
- イ 4cos³θ − 3cos θ cos 3θ = cos 2θ cos θ − sin 2θ sin θ = (2cos²θ − 1)cos θ − 2(1 − cos²θ)cos θ = 4cos³θ − 3cos θ。
- ア 振幅 2、t = π/6 合成すると y = 2sin(t + π/3)。振幅は √(1² + (√3)²) = 2（1 + √3 にはならない）。t + π/3 = π/2 のとき最大なので t = π/6。
発展
- エ −1 (2 + 3)/(1 − 6) = −1。（α + β = 3π/4）
- ア 2 + sin 2θ + cos 2θ sin²θ = (1 − cos 2θ)/2、cos²θ = (1 + cos 2θ)/2、2 sin θ cos θ = sin 2θ。合計 (1 − cos 2θ)/2 + sin 2θ + 3(1 + cos 2θ)/2 = 2 + sin 2θ + cos 2θ。
- ア √2 合成して √2 sin(2θ + π/4)。
- 25 y = 17sin(θ + α)（cos α = 8/17、sin α = 15/17、0 < α < π/2）。θ + α は α から π/2 + α まで動くので、θ + α = π/2 のとき最大 17。最小は端の θ = 0（y = 15）と θ = π/2（y = 8）の小さいほうで 8。和は 25。
- ウ 最大値 3/2（θ = π/6、5π/6） cos 2θ = 1 − 2sin²θ。sin θ = s とおくと y = −2s² + 2s + 1 = −2(s − 1/2)² + 3/2（−1 ≦ s ≦ 1）。s = 1/2 のとき最大 3/2。sin θ = 1/2 より θ = π/6、5π/6。
- イ x = 4、tan θ = 3/4 tan θ = 6/(x + 16/x)。x + 16/x ≧ 2√16 = 8（等号は x = 4）なので tan θ ≦ 3/4。0 < θ < π/2 では tan θ が最大のとき θ も最大。
受験のしらべ ／ https://juken-shirabe.com/daigaku/math/h2-08/test/ ／ 問題は毎回の表示で数が変わります。印刷したものはその一例です。
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