数学Ⅱ ／ 三角関数 ／ h2-08
加法定理・2 倍角・半角・合成
この単元でできるようになること
- sin(α ± β)、cos(α ± β)、tan(α ± β) が使える（15°・75° の値など）
- 2 倍角の公式・半角の公式が使える
- 三角関数の合成 a sin θ + b cos θ = √(a² + b²) sin(θ + α) ができる
- 合成を使って最大・最小や方程式が解ける
- 2 直線のなす角が tan の加法定理で求められる
入試での位置づけ
共通テストの三角関数の大問は、合成 → 最大・最小、または2 倍角で 1 種類の関数に直して 2 次関数、の 2 パターンがほとんどです。加法定理は覚えるしかない公式ですが、2 倍角・半角・合成はすべて加法定理から導けるので、導き方を 1 度は自分でやると忘れにくくなります。
1. 加法定理
まずここだけ
sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β sin(α − β) = sin α cos β − cos α sin β cos(α + β) = cos α cos β − sin α sin β cos(α − β) = cos α cos β + sin α sin β tan(α + β) = (tan α + tan β)/(1 − tan α tan β) tan(α − β) = (tan α − tan β)/(1 + tan α tan β)
覚え方：「sin は咲いたコスモス、コスモス咲いた（sin cos + cos sin）」「cos はコスモスコスモス、咲いた咲いた（cos cos − sin sin）」。cos は符号が逆になる。
sin 75° = sin(45° + 30°) = sin 45° cos 30° + cos 45° sin 30° = (√2/2)(√3/2) + (√2/2)(1/2) = (√6 + √2)/4 cos 15° = cos(45° − 30°) = (√2/2)(√3/2) + (√2/2)(1/2) = (√6 + √2)/4 tan 75° = (1 + 1/√3)/(1 − 1/√3) = (√3 + 1)/(√3 − 1) = 2 + √3
値がわかっているとき
「sin α = 3/5（α は第 2 象限）、cos β = 5/13（β は第 1 象限）のとき sin(α + β)」 → cos α = −4/5、sin β = 12/13 を相互関係で出してから代入：(3/5)(5/13) + (−4/5)(12/13) = (15 − 48)/65 = −33/65
象限で符号を決めてから代入する。
2. 2 倍角・半角の公式
まずここだけ
加法定理で β = α とおくと、
sin 2α = 2 sin α cos α cos 2α = cos²α − sin²α = 1 − 2sin²α = 2cos²α − 1 tan 2α = 2tan α/(1 − tan²α)
cos 2α の 3 つの形は、「sin だけ」「cos だけ」にそろえるときに使い分ける。
半角の公式（cos 2α の式を変形）： sin²(α/2) = (1 − cos α)/2、cos²(α/2) = (1 + cos α)/2、tan²(α/2) = (1 − cos α)/(1 + cos α)
sin α = 3/5（α は鋭角）のとき sin 2α = 2・(3/5)(4/5) = 24/25、cos 2α = 1 − 2(9/25) = 7/25 sin²(π/8) = (1 − cos(π/4))/2 = (1 − √2/2)/2 = (2 − √2)/4 → sin(π/8) = √(2 − √2)/2
2 倍角で方程式
sin 2θ = sin θ（0 ≦ θ < 2π） 2 sin θ cos θ − sin θ = 0 → sin θ(2cos θ − 1) = 0 → sin θ = 0 または cos θ = 1/2 → θ = 0、π、π/3、5π/3
cos 2θ + sin θ = 0 1 − 2sin²θ + sin θ = 0 → 2sin²θ − sin θ − 1 = 0 → (2sin θ + 1)(sin θ − 1) = 0 → sin θ = −1/2、1 → θ = 7π/6、11π/6、π/2
角をそろえ（2θ → θ）、関数を 1 種類にそろえる。
3. 三角関数の合成
まずここだけ
a sin θ + b cos θ = √(a² + b²) sin(θ + α)（cos α = a/√(a² + b²)、sin α = b/√(a² + b²)）
手順：
- √(a² + b²) を計算する
- 点 (a, b) を図示し、x 軸との角 α を読む
- √(a² + b²) sin(θ + α) と書く
sin θ + √3 cos θ：√(1 + 3) = 2、点 (1, √3) → α = π/3 → 2 sin(θ + π/3) sin θ − cos θ：√2、点 (1, −1) → α = −π/4 → √2 sin(θ − π/4) √3 sin θ + cos θ：2、点 (√3, 1) → α = π/6 → 2 sin(θ + π/6) −sin θ + cos θ：√2、点 (−1, 1) → α = 3π/4 → √2 sin(θ + 3π/4)
点 (a, b) の a が sin の係数、b が cos の係数。順番を逆にしない。
合成で最大・最小
y = sin θ + √3 cos θ（0 ≦ θ < 2π）= 2 sin(θ + π/3)。−1 ≦ sin(θ + π/3) ≦ 1 なので 最大 2（θ = π/6）、最小 −2（θ = 7π/6） 範囲が制限されるとき（0 ≦ θ ≦ π など）は、θ + π/3 の範囲を求めてから sin の値の範囲を読む。
合成で方程式
sin θ + cos θ = 1（0 ≦ θ < 2π）→ √2 sin(θ + π/4) = 1 → sin(θ + π/4) = 1/√2 → θ + π/4 = π/4、3π/4（π/4 ≦ θ + π/4 < 9π/4）→ θ = 0、π/2
4. 2 直線のなす角
ここまでできれば十分
傾き m₁、m₂ の 2 直線のなす角 θ（鋭角）は、tan θ = |(m₁ − m₂)/(1 + m₁m₂)|（tan の加法定理から）。
y = 2x と y = −x/3：tan θ = |(2 + 1/3)/(1 − 2/3)| = (7/3)/(1/3) = 7 …（この例は 1 + m₁m₂ = 1/3） y = 3x と y = x/2：tan θ = |(3 − 1/2)/(1 + 3/2)| = (5/2)/(5/2) = 1 → θ = π/4
5. 積 → 和・和 → 積（発展）
もう一歩
加法定理の和と差から、 sin α cos β = (1/2){sin(α + β) + sin(α − β)} sin A + sin B = 2 sin((A + B)/2) cos((A − B)/2) などが導けます。数学Ⅲの積分で使うので、今は「加法定理から出る」と知っておけば十分。
6. 自己チェック
- 加法定理の符号（sin は同符号、cos は逆符号）
- 象限で cos・sin の符号を決めてから代入したか
- cos 2α の 3 つの形を使い分けたか
- 合成は点 (a, b) で α を読む。a は sin の係数
- 範囲つきの最大最小は θ + α の範囲に直したか
7. 小テストへ
→ 小テスト（h2-08）
関連する単元
参考資料
- 文部科学省『高等学校学習指導要領（平成30年告示）解説 数学編 理数編』── 数学Ⅱ「(4) 三角関数 ア(ウ) 三角関数の加法定理」
受験のしらべ ／ https://juken-shirabe.com/daigaku/math/h2-08/ ／ 更新 2026-09-12