対数・対数関数・常用対数 ── 問題
基礎
- log_10 1/10 の値を求めなさい。
- log_5 72 を log_5 2 と log_5 3 を使って表しなさい。 （ア 3 log_5 2 × 2 log_5 3 イ log_5 2 × log_5 3 ウ 2 log_5 2 + 3 log_5 3 エ 3 log_5 2 + 2 log_5 3）
- 次の計算をしなさい。 log_3 9 + log_3 9 − log_3 27
- 底の変換公式を使って log_125 5 の値を求めなさい。
- 方程式 log_2 (x − 3) = 3 を解きなさい。 （ア x = 11 イ x = 12 ウ x = 5 エ x = 9 undefined x = 6）
- log₂ 3 × log₃ 8 の値はどれですか。 （ア log₆ 24 イ 8 ウ 3 エ log₂ 24）
標準
- 不等式 log_3 (x − 1) ≧ 3 を解きなさい。 （ア x ≧ 10 イ 1 < x < 28 ウ x ≦ 28 エ x ≧ 28）
- 不等式 log_(1/2) (x − 1) > −3 を解きなさい。 （ア 1 < x < 9 イ 1 < x < −7 ウ x > 9 エ x < 9）
- log₁₀ 2 = 0.3010、log₁₀ 3 = 0.4771 として、18^18 は何けたの整数か答えなさい。
- log₂ (x − 1) + log₂ (x + 2) = 2 の解はどれですか。 （ア x = 3 イ x = 2、−3 ウ x = 2 エ x = −3）
- (log₂ x)² − 3 log₂ x + 2 = 0 の解はどれですか。 （ア x = 1、2 イ x = 4、8 ウ x = 2、4 エ x = 2）
発展
- log₁₀ 3 = 0.4771 として、(1/3)²⁰ を小数で表したとき、小数第何位に初めて 0 でない数字が現れますか。 （ア 第 10 位 イ 第 11 位 ウ 第 9 位 エ 第 20 位）
- log₂ 3、log₄ 5、1 を小さい順に並べたものはどれですか。 （ア log₄ 5 < 1 < log₂ 3 イ 1 < log₂ 3 < log₄ 5 ウ log₂ 3 < log₄ 5 < 1 エ 1 < log₄ 5 < log₂ 3）
- log₁₀ 2 = 0.3010 として、2¹⁰⁰ の最高位の数字はどれですか（log₁₀ 1.26 ≒ 0.1004 を使ってよい）。 （ア 2 イ 3 ウ 9 エ 1）
対数・対数関数・常用対数 ── 解答
基礎
- −1 10 を何乗すると 1/10 になるか。10^(−1) = 1/10 なので −1。
- エ 3 log_5 2 + 2 log_5 3 72 = 2^3 × 3^2。積は和に、累乗は係数に。3 log_5 2 + 2 log_5 3
- 1 log_3 (9×9/27) = log_3 3 = 1。
- 1/3 log_125 5 = log_5 5 / log_5 125 = 1/3 = 1/3。
- ア x = 11 真数条件 x − 3 > 0。定義より x − 3 = 2^3 = 8。x = 11
- ウ 3 底の変換：log₃ 8 = log₂ 8 / log₂ 3。積は log₂ 8 = 3。
標準
- エ x ≧ 28 真数条件 x − 1 > 0。log_3 (x − 1) ≧ log_3 27 → 底 > 1 なので x − 1 ≧ 27 → x ≧ 28。真数条件 x > 1 は自動的に満たす。x ≧ 28
- ア 1 < x < 9 真数条件 x − 1 > 0。−3 = log_(1/2) 8。底 1/2 < 1 なので向きが逆：x − 1 < 8 → x < 9。真数条件と合わせて 1 < x < 9
- 23 log₁₀ 18^18 = 18 × 1.2552 = 22.59。整数部分 22 なので 22 + 1 = 23 けた。
- ウ x = 2 真数条件 x > 1。(x − 1)(x + 2) = 4 → x = 2、−3。x = −3 は不適。
- ウ x = 2、4 log₂ x = t：t² − 3t + 2 = 0 → t = 1、2 → x = 2、4。
発展
- ア 第 10 位 log₁₀ 3⁻²⁰ = −9.542。−10 ≦ −9.542 < −9 なので小数第 10 位。
- エ 1 < log₄ 5 < log₂ 3 底 2 にそろえる：log₂ 2、log₂ √5、log₂ 3。2 < √5 < 3。
- エ 1 log₁₀ 2¹⁰⁰ = 30.10 → 2¹⁰⁰ = 10^0.10 × 10³⁰、10^0.10 ≒ 1.26。最高位は 1。
受験のしらべ ／ https://juken-shirabe.com/daigaku/math/h2-10/test/ ／ 問題は毎回の表示で数が変わります。印刷したものはその一例です。
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