対数・対数関数・常用対数 ── 問題
基礎
- log_2 8 の値を求めなさい。
- log_7 6 を log_7 2 と log_7 3 を使って表しなさい。 （ア log_7 2 × log_7 3 イ log_7 2 + log_7 3 ウ log_7 2 × log_7 3）
- 次の計算をしなさい。 log_3 6 + log_3 10 − log_3 20
- 底の変換公式を使って log_4 16 の値を求めなさい。
- 方程式 log_5 (x − 5) = 1 を解きなさい。 （ア x = 0 イ x = 6 ウ x = 11 エ x = 10）
- log₂ 3 × log₃ 8 の値はどれですか。 （ア log₆ 24 イ 8 ウ 3 エ log₂ 24）
標準
- 不等式 log_2 (x + 3) < 1 を解きなさい。 （ア −3 < x < 1 イ −3 < x < −1 ウ x < −1）
- 不等式 log_(1/3) (x + 4) > −1 を解きなさい。 （ア −4 < x < −1 イ x < −1 ウ −4 < x < −11/3 エ x > −1）
- log₁₀ 2 = 0.3010、log₁₀ 3 = 0.4771 として、3^60 は何けたの整数か答えなさい。
- log₂ (x − 1) + log₂ (x + 2) = 2 の解はどれですか。 （ア x = 3 イ x = 2、−3 ウ x = 2 エ x = −3）
- (log₂ x)² − 3 log₂ x + 2 = 0 の解はどれですか。 （ア x = 1、2 イ x = 4、8 ウ x = 2、4 エ x = 2）
- ある町の人口は毎年 10% ずつ増えている。人口が初めて今の 2 倍を超えるのは何年後か求めなさい。ただし log₁₀ 2 = 0.3010、log₁₀ 3 = 0.4771、log₁₀ 1.1 = 0.0414 とする。
- 方程式 log₃ (x − 1) + log₃ (x − 3) = 1 を解いている。 太郎：左辺をまとめて (x − 1)(x − 3) = 3 とすると、x = 0、4 だね。 花子：最初に真数が正という条件を確かめておかないと。 正しい解はどれですか。 （ア x = 0、4 イ 解なし ウ x = 0 エ x = 4）
- 地震のマグニチュード M と、放出されるエネルギー E（ジュール）の間には、log₁₀ E = 4.8 + 1.5M という関係が知られている。M7 の地震のエネルギーは、M5 の地震のエネルギーの何倍ですか。 （ア 1000 倍 イ 100 倍 ウ 約 31.6 倍 エ 3 倍）
発展
- log₁₀ 3 = 0.4771 として、(1/3)²⁰ を小数で表したとき、小数第何位に初めて 0 でない数字が現れますか。 （ア 第 10 位 イ 第 11 位 ウ 第 9 位 エ 第 20 位）
- log₂ 3、log₄ 5、1 を小さい順に並べたものはどれですか。 （ア log₄ 5 < 1 < log₂ 3 イ 1 < log₂ 3 < log₄ 5 ウ log₂ 3 < log₄ 5 < 1 エ 1 < log₄ 5 < log₂ 3）
- log₁₀ 2 = 0.3010 として、2¹⁰⁰ の最高位の数字はどれですか（log₁₀ 1.26 ≒ 0.1004 を使ってよい）。 （ア 2 イ 3 ウ 9 エ 1）
- log₁₀ 2 = 0.3010、log₁₀ 3 = 0.4771、log₁₀ 7 = 0.8451 として、2^13 の最高位の数字を求めなさい。
- 1 ≦ x ≦ 8 のとき、関数 y = (log₂ x)² − 4log₂ x + 5 の最大値・最小値と、そのときの x の組み合わせはどれですか。 （ア 最大 5（x = 1）、最小 2（x = 8） イ 最大 2（x = 8）、最小 1（x = 4） ウ 最大 5（x = 1）、最小 1（x = 4） エ 最大 5（x = 0）、最小 1（x = 2））
- log₂ 3 が無理数であることを示したい。 太郎：log₂ 3 は正だから、有理数と仮定すると log₂ 3 = m/n（m、n は自然数）と書けるね。 花子：すると 2^(m/n) = 3 で、両辺を n 乗すると 2ᵐ = 3ⁿ になるよ。 このあと、どのように矛盾を導けばよいですか。 （ア 左辺は偶数、右辺は奇数で等しくならない イ 左辺も右辺も偶数なので m = n となる ウ 3ⁿ も 2ᵐ も素数なので等しくならない エ m、n が自然数なので log₂ 3 は整数になる）
対数・対数関数・常用対数 ── 解答
基礎
- 3 2 を何乗すると 8 になるか。2^(3) = 8 なので 3。
- イ log_7 2 + log_7 3 6 = 2 × 3。積は和に、累乗は係数に。 log_7 2 + log_7 3
- 1 log_3 (6×10/20) = log_3 3 = 1。
- 2 log_4 16 = log_2 16 / log_2 4 = 4/2 = 2。
- エ x = 10 真数条件 x − 5 > 0。定義より x − 5 = 5^1 = 5。x = 10
- ウ 3 底の変換：log₃ 8 = log₂ 8 / log₂ 3。積は log₂ 8 = 3。
標準
- イ −3 < x < −1 真数条件 x + 3 > 0。log_2 (x + 3) < log_2 2 → 底 > 1 なので x + 3 < 2 → x < −1。真数条件 x > −3 と合わせる。−3 < x < −1
- ア −4 < x < −1 真数条件 x + 4 > 0。−1 = log_(1/3) 3。底 1/3 < 1 なので向きが逆：x + 4 < 3 → x < −1。真数条件と合わせて −4 < x < −1
- 29 log₁₀ 3^60 = 60 × 0.4771 = 28.63。整数部分 28 なので 28 + 1 = 29 けた。
- ウ x = 2 真数条件 x > 1。(x − 1)(x + 2) = 4 → x = 2、−3。x = −3 は不適。
- ウ x = 2、4 log₂ x = t：t² − 3t + 2 = 0 → t = 1、2 → x = 2、4。
- 8 n 年後の人口は今の 1.1ⁿ 倍。1.1ⁿ > 2 の両辺の常用対数をとって n × 0.0414 > 0.3010、n > 7.27…。これを満たす最小の整数は 8。
- エ x = 4 真数条件 x − 1 > 0 かつ x − 3 > 0 より x > 3。(x − 1)(x − 3) = 3 → x² − 4x = 0 → x = 0、4。x > 3 を満たすのは x = 4。
- ア 1000 倍 log₁₀ E₇ − log₁₀ E₅ = 1.5 × (7 − 5) = 3 なので E₇/E₅ = 10³ = 1000 倍（M が 2 大きいと 1.5 × 2 = 3 けた分）。
発展
- ア 第 10 位 log₁₀ 3⁻²⁰ = −9.542。−10 ≦ −9.542 < −9 なので小数第 10 位。
- エ 1 < log₄ 5 < log₂ 3 底 2 にそろえる：log₂ 2、log₂ √5、log₂ 3。2 < √5 < 3。
- エ 1 log₁₀ 2¹⁰⁰ = 30.10 → 2¹⁰⁰ = 10^0.10 × 10³⁰、10^0.10 ≒ 1.26。最高位は 1。
- 8 log₁₀ 2^13 = 13 × 0.3010 = 3.9130。小数部分 0.9130 が log₁₀ 8 ≦ 0.9130 < log₁₀ 9 の範囲にあるので、最高位の数字は 8（log₁₀ 4 = 2 × 0.3010、log₁₀ 5 = 1 − 0.3010 などを使って比べる）。
- ウ 最大 5（x = 1）、最小 1（x = 4） log₂ x = t とおくと 0 ≦ t ≦ 3、y = (t − 2)² + 1。t = 2（x = 4）で最小 1、t = 0（x = 1）で最大 5（t = 3 では y = 2）。
- ア 左辺は偶数、右辺は奇数で等しくならない m ≧ 1 なので 2ᵐ は偶数、3ⁿ は奇数。2ᵐ = 3ⁿ は成り立たないので仮定が誤りで、log₂ 3 は無理数。
受験のしらべ ／ https://juken-shirabe.com/daigaku/math/h2-10/test/ ／ 問題は毎回の表示で数が変わります。印刷したものはその一例です。
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