数学Ⅱ ／ 指数・対数 ／ h2-10
対数・対数関数・常用対数
この単元でできるようになること
- 対数の定義 log_a M = p ⇔ aᵖ = M で、指数と対数を行き来できる
- 対数の性質（積・商・累乗）と底の変換公式で計算できる
- y = log_a x のグラフ（a > 1 で増加、0 < a < 1 で減少、真数 > 0）がわかる
- 対数方程式・不等式を、真数条件を確かめながら解ける
- 常用対数で「2¹⁰⁰ は何けたか」「小数第何位に初めて 0 でない数字が現れるか」が求められる
入試での位置づけ
対数は共通テストで毎年出る分野です。「対数不等式（底 < 1 で向きが逆、真数条件）」と「常用対数でけた数」が定番。log の中の数を素因数分解して log 2、log 3 で表す練習が計算の速さを決めます。指数（h2-09）の逆演算として理解すると、方程式・不等式の解き方が同じ型になります。
1. 対数の定義
まずここだけ
a > 0、a ≠ 1、M > 0 のとき、
aᵖ = M ⇔ p = log_a M（a を底とする M の対数）
「a を何乗すると M になるか」が log_a M。
log₂ 8 = 3（2³ = 8）、log₃ (1/9) = −2（3⁻² = 1/9）、log₅ √5 = 1/2、log₁₀ 1 = 0 log_a 1 = 0、log_a a = 1（常に）
真数 M は正（真数条件）。log の中に 0 や負の数は置けない。
2. 対数の性質
まずここだけ
M > 0、N > 0、k は実数のとき、
log_a MN = log_a M + log_a N（積 → 和） log_a (M/N) = log_a M − log_a N（商 → 差） log_a Mᵏ = k log_a M（累乗 → 係数）
log₂ 12 = log₂ (2² × 3) = 2 + log₂ 3 log₃ 18 − log₃ 2 = log₃ 9 = 2 log₂ √8 = (1/2) log₂ 8 = 3/2 2 log₅ 3 + log₅ 5 − log₅ 45 = log₅ (9 × 5/45) = log₅ 1 = 0
コツ：真数を素因数分解して、log_a 2、log_a 3 の和差に直す。
底の変換公式
log_a b = log_c b / log_c a（好きな底 c に直せる）
log₄ 8 = log₂ 8 / log₂ 4 = 3/2 log₂ 3 × log₃ 8 = log₂ 3 × (log₂ 8 / log₂ 3) = log₂ 8 = 3 log_a b × log_b a = 1、log_a b = 1/log_b a
底がばらばらなら、一番小さい素数の底にそろえる。
3. 対数関数のグラフ
まずここだけ
y = log_a x（a > 0、a ≠ 1）は y = aˣ の逆関数（y = x に関して対称）。
| a > 1 | 0 < a < 1 | |
|---|---|---|
| 形 | 右上がり（増加） | 右下がり（減少） |
| 通る点 | (1, 0)、(a, 1) | (1, 0)、(a, 1) |
| 定義域 | x > 0（y 軸が漸近線） | x > 0 |
| 値域 | すべての実数 | すべての実数 |
大小比較
底をそろえて真数を比べる。a > 1 なら真数が大きいほど大きい、0 < a < 1 なら逆。
log₂ 3、log₄ 5、1：= log₂ 3、log₂ √5、log₂ 2 → 1 < log₄ 5 < log₂ 3（2 < √5 < 3）
4. 対数方程式・不等式
ここまでできれば十分
手順：
- 真数条件を書く（真数 > 0）
- 底をそろえ、log_a（1 つの式）= log_a（1 つの式）の形にする
- 真数どうしを比べる（不等式で底 < 1 なら向きが逆）
- 真数条件と合わせる
log₂ (x − 1) + log₂ (x + 2) = 2 真数条件：x > 1。log₂ (x − 1)(x + 2) = log₂ 4 → x² + x − 2 = 4 → (x + 3)(x − 2) = 0 → x = 2（x = −3 は不適）→ x = 2
log₃ (x − 1) < 2 真数条件：x > 1。log₃ (x − 1) < log₃ 9 → x − 1 < 9 → x < 10。合わせて 1 < x < 10
log_{1/2} (x + 1) > −1 真数条件：x > −1。log_{1/2} (x + 1) > log_{1/2} 2 → 底 1/2 < 1 なので x + 1 < 2 → x < 1。合わせて −1 < x < 1
log_a x = t とおく型：
(log₂ x)² − 3 log₂ x + 2 = 0 → t² − 3t + 2 = 0 → t = 1、2 → x = 2、4
5. 常用対数
ここまでできれば十分
底 10 の対数 log₁₀ M。log₁₀ 2 ≒ 0.3010、log₁₀ 3 ≒ 0.4771（問題で与えられる）。
けた数：N が n けた ⇔ 10ⁿ⁻¹ ≦ N < 10ⁿ ⇔ n − 1 ≦ log₁₀ N < n
2¹⁰⁰ のけた数：log₁₀ 2¹⁰⁰ = 100 × 0.3010 = 30.10 → 30 ≦ log₁₀ 2¹⁰⁰ < 31 → 31 けた
小数の位：0.001 のように「小数第 n 位に初めて 0 でない数字」⇔ −n ≦ log₁₀ N < −n + 1
(1/3)²⁰ = 3⁻²⁰：log₁₀ = −20 × 0.4771 = −9.542 → −10 ≦ … < −9 → 小数第 10 位に初めて 0 でない数字
最高位の数字（発展）：log₁₀ 2¹⁰⁰ = 30.10 → 2¹⁰⁰ = 10^30.10 = 10^0.10 × 10³⁰。10^0.10 ≒ 1.26（log₁₀ 1.26 ≒ 0.10）→ 最高位は 1。
6. よくある間違い
- log_a (M + N) = log_a M + log_a N（× ）→ 積のときだけ和
- 真数条件を忘れて不適な解を残す
- 底 < 1 の不等式で向きを変え忘れる
- log₂ 3 × log₂ 4 を log₂ 12 とする（× ）→ 積の公式は真数の積、log どうしの積は底の変換
- けた数で「log₁₀ N の整数部分 = けた数」とする → 整数部分 + 1
7. 自己チェック
- 定義 aᵖ = M ⇔ p = log_a M
- 真数を素因数分解して log 2、log 3 に
- 底の変換で底をそろえたか
- 真数条件を書いたか。底 < 1 なら向きが逆
- けた数 = log₁₀ N の整数部分 + 1
8. 小テストへ
→ 小テスト（h2-10）
関連する単元
参考資料
- 文部科学省『高等学校学習指導要領（平成30年告示）解説 数学編 理数編』── 数学Ⅱ「(3) 指数関数・対数関数 ア(イ) 対数関数」
受験のしらべ ／ https://juken-shirabe.com/daigaku/math/h2-10/ ／ 更新 2026-09-12