関数の増減・極値・最大最小 ── 問題
基礎
- 関数 f(x) = x³ − 3x² − 9x − 2 の極値を求めなさい。 （ア x = −1 で極小値 3、x = 3 で極大値 −29 イ x = −1 で極大値 3、x = 3 で極小値 −29 ウ x = −1 で極大値 −29、x = 3 で極小値 3 エ 極値はない）
- 関数 f(x) = x³ − 12x² + 36x − 4 の増減について正しいものを選びなさい。 （ア x < 2 で増加、x > 2 で減少 イ x < 2 と x > 6 で増加、2 < x < 6 で減少 ウ 常に増加 エ x < 2 と x > 6 で減少、2 < x < 6 で増加）
- 関数 f(x) = x³ − 3x² + 2（−3 ≦ x ≦ 4）の最大値と最小値を求めなさい。 （ア 最大値 18、最小値 −52 イ 最大値 2、最小値 −2 ウ 最大値 −52、最小値 18 エ 最大値 19、最小値 −52）
- 方程式 x³ − 9x² + 24x − 5 = k が異なる 3 つの実数解をもつような定数 k の範囲を求めなさい。 （ア 11 ≦ k ≦ 15 イ k < 11 または k > 15 ウ 2 < k < 4 エ 11 < k < 15）
- f(x) = x³ について正しいものはどれですか。 （ア f′(0) = 0 だが極値はない（常に増加） イ x = 0 で極小値 0 ウ x = 0 で極値をもち、他では増加 エ x = 0 で極大値 0）
標準
- 関数 f(x) = x³ + ax² + 12x が極値をもつような定数 a の範囲を求めなさい。 （ア −6 < a < 6 イ a < −6 または a > 6 ウ a ≠ 0 エ a ≦ −6 または a ≧ 6）
- 関数 f(x) = x³ − 6x² + c が x = 4 で極小値 −4 をとるとき、定数 c の値を求めなさい。
- 1 辺の長さが 24 の正方形の厚紙の 4 隅から 1 辺 x の正方形を切り取り、ふたのない直方体の箱を作る。容積が最大になる x の値を求めなさい。
- x³ − 3x² = k の実数解が 2 個であるような k の値はどれですか。 （ア −4 < k < 0 イ k = −4 ウ k = 0 エ k = 0、−4）
- f(x) = −x³ + 3x の極値として正しいものはどれですか。 （ア x = 1 で極小値 2、x = −1 で極大値 −2 イ x = 1 で極大値 2、x = −1 で極小値 −2 ウ 極値はない エ x = −1 で極大値 2、x = 1 で極小値 −2）
- 関数 f(x) = x³ − 48x の極大値と極小値の差を求めなさい。
- 関数 f(x) = x³ − 3x² + 3x について話している。 太郎：f′(1) = 0 だから、x = 1 で極値をとるね。 花子：f′(1) = 0 だけでは極値とはいえないよ。前後で f′(x) の符号を見よう。 f(x) について正しいものはどれですか。 （ア x = 1 で極小値 1 をとり、その後は増加する イ x = 0 と x = 2 の 2 か所で極値をとる ウ x = 1 で極大値 1 をとり、その後は減少する エ x = 1 で f′(x) = 0 だが極値はない）
- ある工場で品物を x 百個つくる費用は x³ − 9x² + 30x（万円）、売上は 15x（万円）である（0 ≦ x ≦ 8）。利益が最大になる生産量と、利益の最大値の組み合わせはどれですか。 （ア 100 個で −7 万円 イ 500 個で 25 万円 ウ 600 個で 18 万円 エ 300 個で 9 万円）
発展
- f(x) = x³ + ax² + bx + c が x = 1 で極小値 −1、x = −1 で極大値をとるとき、(a, b) はどれですか。 （ア (0, 3) イ (−3, 0) ウ (1, −3) エ (0, −3)）
- x ≧ 0 のとき、x³ − 3x + 2 ≧ 0 が成り立つ理由として正しいものはどれですか。 （ア f(x) は x ≧ 0 で常に増加するから イ x ≧ 0 で f′(x) = 3x² − 3 ≧ 0 だから ウ f(x) は x = 1 で最小値 0 をとるから エ f(0) = 2 > 0 で、x = 0 が最小だから）
- f(x) = x³ − 3ax² + 3（a > 0）の極小値が −1 になる a の値はどれですか。 （ア a = √2 イ a = 1/2 ウ a = 1 エ a = 2）
- 長さ 96 cm の針金をすべて使って、底面が正方形の直方体の枠（12 本の辺）を作る。直方体の体積の最大値を求めなさい（単位 cm³）。
- a > 0 とする。0 ≦ x ≦ 3 における関数 f(x) = x³ − 3ax の最大値として正しいものはどれですか。 （ア 0 < a ≦ 3 のとき 27 − 9a、a > 3 のとき 0 イ 0 < a ≦ 9 のとき 27 − 9a、a > 9 のとき 0 ウ 0 < a ≦ 1 のとき 27 − 9a、a > 1 のとき −2a√a エ すべての a > 0 で 27 − 9a）
- x の 3 次方程式 x³ − 3x − a = 0 が、1 つの正の解と異なる 2 つの負の解をもつような a の範囲を求めたい。 太郎：x³ − 3x = a と変形して、y = x³ − 3x と y = a の交点を調べよう。 花子：交点の x 座標の符号を見るには、x = 0 での値も大事だね。 求める a の範囲はどれですか。 （ア 0 < a < 2 イ a > 2 ウ −2 < a < 2 エ −2 < a < 0）
関数の増減・極値・最大最小 ── 解答
基礎
- イ x = −1 で極大値 3、x = 3 で極小値 −29 f′(x) = 3x² − 6x − 9 = 3(x + 1)(x − 3)。f′ = 0 は x = −1、3。増減表で x = −1 の前後で + → −（極大）、x = 3 で − → +（極小）。x = −1 で極大値 3、x = 3 で極小値 −29
- イ x < 2 と x > 6 で増加、2 < x < 6 で減少 f′(x) = 3x² − 24x + 36。f′ = 0 は x = 2、6。f′ のグラフは下に凸なので、外側で正（増加）、間で負（減少）。x < 2 と x > 6 で増加、2 < x < 6 で減少
- ア 最大値 18、最小値 −52 極大 f(0) = 2、極小 f(2) = −2、端 f(−3) = −52、f(4) = 18。4 つを比べて 最大値 18、最小値 −52。
- エ 11 < k < 15 y = f(x)（極大 15、極小 11）と直線 y = k の共有点が 3 個になるのは、k が極小値と極大値の間にあるとき。11 < k < 15
- ア f′(0) = 0 だが極値はない（常に増加） f′(x) = 3x² ≧ 0 で符号が変わらない。f′ = 0 でも増減が入れかわらなければ極値ではない。
標準
- イ a < −6 または a > 6 f′(x) = 3x² + 2ax + 12。極値をもつ ⇔ f′ = 0 が異なる 2 実数解 ⇔ D/4 = a² − 36 > 0。a < −6 または a > 6
- 28 f′(x) = 3x² − 12x = 3(x − 4)x で、x = 4 の前後で − → + なので極小。f(4) = −32 + c = −4 より c = 28。
- 4 V = x(24 − 2x)²（0 < x < 12）。V′ = 12(x − 4)(x − 12)。増減表より x = 4 で極大かつ最大（最大容積 1024）。x = 4。
- エ k = 0、−4 極大値 0、極小値 −4。y = k がグラフに接するとき（k = 0 または −4）に共有点は 2 個。
- イ x = 1 で極大値 2、x = −1 で極小値 −2 f′ = −3x² + 3 = −3(x − 1)(x + 1)。上に凸の f′ なので −1 < x < 1 で正（増加）。x = −1 で極小 −2、x = 1 で極大 2。
- 256 f′(x) = 3x² − 48 = 3(x + 4)(x − 4)。x = −4 で極大値 128、x = 4 で極小値 −128。差は 128 − (−128) = 256。
- エ x = 1 で f′(x) = 0 だが極値はない f′(x) = 3x² − 6x + 3 = 3(x − 1)² ≧ 0。x = 1 の前後で f′(x) の符号が変わらない（ずっと増加）ので、極値はない。
- イ 500 個で 25 万円 利益 P(x) = 15x − (x³ − 9x² + 30x) = −x³ + 9x² − 15x。P′(x) = −3(x − 1)(x − 5)。x = 5 で極大 P(5) = 25。端の P(0) = 0、P(8) = −56 と比べて最大は 25 万円（500 個）。
発展
- エ (0, −3) f′(1) = 3 + 2a + b = 0、f′(−1) = 3 − 2a + b = 0 → a = 0、b = −3。（f′ = 3x² − 3 で確かに x = 1 極小、−1 極大）
- ウ f(x) は x = 1 で最小値 0 をとるから f′ = 3(x − 1)(x + 1)。x ≧ 0 では x = 1 で極小かつ最小、f(1) = 0。
- ウ a = 1 f′ = 3x(x − 2a)。x = 2a で極小 f(2a) = 8a³ − 12a³ + 3 = 3 − 4a³ = −1 → a³ = 1 → a = 1。
- 512 底面の 1 辺を x、高さを h とすると 8x + 4h = 96 より h = 24 − 2x（0 < x < 12）。V = x²(24 − 2x)、V′ = 6x(8 − x)。x = 8 で極大かつ最大。このとき h = 8 で立方体になり、V = 512。
- ア 0 < a ≦ 3 のとき 27 − 9a、a > 3 のとき 0 f′(x) = 3(x² − a) で、x = √a で極小。0 ≦ x ≦ 3 での最大値は両端 f(0) = 0 と f(3) = 27 − 9a の大きいほう。27 − 9a ≧ 0 ⇔ a ≦ 3。
- ア 0 < a < 2 y = x³ − 3x は x = −1 で極大 2、x = 1 で極小 −2 をとり、原点を通る。直線 y = a が x < 0 で 2 回、x > 0 で 1 回交わるのは 0 < a < 2。
受験のしらべ ／ https://juken-shirabe.com/daigaku/math/h2-12/test/ ／ 問題は毎回の表示で数が変わります。印刷したものはその一例です。
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