積分・面積 ── 問題
基礎
- 不定積分 ∫(3x² − 4x + 3) dx を求めなさい。 （ア 3x³ − 4x² + 3x + C イ x³ − 2x² + C ウ 6x − 4 + C エ x³ − 2x² + 3x + C）
- 定積分 ∫_0^3 (−x² + 4x + 1) dx の値を求めなさい。
- 放物線 y = x² + x − 2 と x 軸で囲まれた部分の面積を求めなさい。
- 放物線 y = x² と直線 y = 9x − 14 で囲まれた部分の面積を求めなさい。
- ∫₋₂² (x³ + 3x² − 5x + 1) dx の値はどれですか。 （ア 20 イ 24 ウ 0 エ 16）
標準
- 放物線 y = x² − 3 と放物線 y = −x − 3 で囲まれた部分の面積を求めなさい。
- d/dx ∫_3^x (t² − 3t + 3) dt を求めなさい。 （ア x² − 3x + 3 イ 2x − 3 ウ x² − 3x エ x³/3 − 3x²/2 + 3x）
- 関数 f(x) が f(x) = 4x − 4 + 2∫₀¹ f(t) dt を満たすとき、f(x) を求めなさい。 （ア 4x − 2 イ 4x − 4 ウ 4x − 8 エ 4x）
- ∫₀³ |x − 1| dx の値はどれですか。 （ア 2 イ 3/2 ウ 5/2 エ 9/2）
- ∫ₐˣ f(t) dt = x² − 3x + 2 のとき、a の値はどれですか。 （ア a = 0 イ a = 1、2 ウ a = 2 エ a = 1）
発展
- y = x³ − 3x と x 軸で囲まれた 2 つの部分の面積の和はどれですか。 （ア 9/2 イ 3 ウ 9/4 エ 0）
- 放物線 y = x² と、その上の点 (1, 1) における接線 y = 2x − 1、および y 軸で囲まれた部分の面積はどれですか。 （ア 2/3 イ 1/6 ウ 1/2 エ 1/3）
- F′(x) = 3x² − 2x、F(1) = 2 を満たす F(x) はどれですか。 （ア x³ − x² + 2 イ x³ − x² + 1 ウ 3x³ − 2x² + 1 エ x³ − x²）
積分・面積 ── 解答
基礎
- エ x³ − 2x² + 3x + C ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C。各項を積分して x³ − 2x² + 3x + C
- 12 原始関数 F(x) = −x³/3 + 2x² + x。F(3) − F(0) = 12 − (0) = 12。
- 9/2 x 軸との交点は x = −2、1。その間でグラフはx 軸より下。1/6 公式：(1/6)(1 − (−2))³ = 9/2。
- 125/6 交点：x² = 9x − 14 → x = 2、7。その間では直線が上。1/6 公式：(1/6)(7 − (2))³ = 125/6。
- ア 20 奇関数の項は消え、2∫₀² (3x² + 1) dx = 2[x³ + x]₀² = 20。
標準
- 1/6 差をとると (x + 1)(x + 0)。交点 x = −1、0。x² の係数の差 1 で 1/6 公式：(1/6)(0 − (−1))³ = 1/6。
- ア x² − 3x + 3 上端が x の定積分を x で微分すると、被積分関数の t を x にしたものになる。x² − 3x + 3
- エ 4x ∫₀¹ f(t) dt = k（定数）とおくと f(x) = 4x − 4 + 2k。k = ∫₀¹ (4x − 4 + 2k)（t の式）dt = 2 − 4 + 2k → k = 2。f(x) = 4x − 4 + 2k = 4x
- ウ 5/2 x = 1 で分ける：∫₀¹ (1 − x) dx + ∫₁³ (x − 1) dx = 1/2 + 2。
- イ a = 1、2 x = a を代入すると左辺 0：a² − 3a + 2 = 0。
発展
- ア 9/2 交点 x = 0、±√3。対称性より 2 × ∫₀^√3 (3x − x³) dx = 2[3x²/2 − x⁴/4]₀^√3 = 2(9/2 − 9/4) = 9/2。
- エ 1/3 ∫₀¹ {x² − (2x − 1)} dx = ∫₀¹ (x − 1)² dx = 1/3。
- ア x³ − x² + 2 F(x) = x³ − x² + C、F(1) = C = 2。
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