数学Ⅱ ／ 微分・積分 ／ h2-13
積分・面積
この単元でできるようになること
- 不定積分 ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C が計算でき、微分との関係がわかる
- 定積分 ∫ₐᵇ f(x) dx = [F(x)]ₐᵇ = F(b) − F(a) が計算できる
- 曲線と x 軸、2 曲線で囲まれた部分の面積が求められる（上 − 下）
- 放物線と直線で囲まれた面積の公式 (1/6)|a|(β − α)³ が使える
- 定積分で表された関数の微分、定積分を含む等式が扱える
入試での位置づけ
共通テストの微分・積分の大問の後半は面積です。「放物線と直線で囲まれた面積」は毎年のように出て、1/6 公式で速く計算できるかで時間が変わります。「絶対値つきの積分」「定積分を含む関数」は私立・国公立の定番。微分（h2-11・12）の逆演算として整理します。
1. 不定積分
まずここだけ
微分の逆。F′(x) = f(x) となる F(x) を f(x) の原始関数といい、∫f(x) dx = F(x) + C（C は積分定数）。
∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C（指数を 1 つ上げて、その数で割る）
∫x² dx = x³/3 + C ∫(3x² − 4x + 1) dx = x³ − 2x² + x + C ∫(x + 1)(x − 2) dx = ∫(x² − x − 2) dx = x³/3 − x²/2 − 2x + C（展開してから）
定数倍・和・差はそのまま。積は展開してから。
条件から C を決める
「F′(x) = 2x + 1、F(1) = 3」→ F(x) = x² + x + C、F(1) = 2 + C = 3 → C = 1 → F(x) = x² + x + 1
2. 定積分
まずここだけ
∫ₐᵇ f(x) dx = [F(x)]ₐᵇ = F(b) − F(a)（上端の値 − 下端の値。C は消える）
∫₁³ (2x + 1) dx = [x² + x]₁³ = (9 + 3) − (1 + 1) = 10 ∫₋₁² x² dx = [x³/3]₋₁² = 8/3 − (−1/3) = 3 ∫₀¹ (x² − 2x) dx = [x³/3 − x²]₀¹ = 1/3 − 1 = −2/3（負になってもよい）
性質
- ∫ₐᵇ {f + g} dx = ∫ₐᵇ f dx + ∫ₐᵇ g dx
- ∫ₐᵃ f dx = 0、∫ₐᵇ f dx = −∫ᵇₐ f dx
- ∫ₐᵇ f dx = ∫ₐᶜ f dx + ∫꜀ᵇ f dx（途中で分ける）
- 偶関数（x² など）：∫₋ₐᵃ = 2∫₀ᵃ 奇関数（x、x³）：∫₋ₐᵃ = 0
∫₋₂² (x³ + 3x² − 5x + 1) dx = 2∫₀² (3x² + 1) dx = 2[x³ + x]₀² = 20（奇数次は消える）
3. 面積
まずここだけ
曲線 y = f(x) と x 軸の間（a ≦ x ≦ b で f(x) ≧ 0）：S = ∫ₐᵇ f(x) dx f(x) ≦ 0 の部分は S = −∫ₐᵇ f(x) dx（積分値が負になるので符号を変える）
2 曲線の間（a ≦ x ≦ b で f(x) ≧ g(x)）：S = ∫ₐᵇ {f(x) − g(x)} dx（上 − 下）
y = x² − 4 と x 軸で囲まれた面積 x² − 4 = 0 → x = ±2。−2 ≦ x ≦ 2 で y ≦ 0 なので S = −∫₋₂² (x² − 4) dx = 2∫₀² (4 − x²) dx = 2[4x − x³/3]₀² = 2(8 − 8/3) = 32/3
y = x² と y = x + 2 で囲まれた面積 交点：x² = x + 2 → x = −1、2。この間では直線が上。S = ∫₋₁² {(x + 2) − x²} dx = [x²/2 + 2x − x³/3]₋₁² = (2 + 4 − 8/3) − (1/2 − 2 + 1/3) = 10/3 + 7/6 = 9/2
手順
- 交点を求める（連立）
- どちらが上かを確かめる（1 点代入か図）
- 上 − 下 を交点から交点まで積分
- 途中で上下が入れかわるなら分けて足す
4. 1/6 公式
ここまでできれば十分
放物線 y = ax² + bx + c と直線（または 2 つの放物線）が x = α、β（α < β）で交わるとき、囲まれた面積は
S = (|a|/6)(β − α)³（a は x² の係数の差）
上の例：y = x² と y = x + 2、交点 −1、2 → S = (1/6)(2 − (−1))³ = 27/6 = 9/2 ✓ y = x² − 4 と x 軸：(1/6)(2 − (−2))³ = 64/6 = 32/3 ✓ y = 2x² と y = x² + x + 2：差の x² の係数 1、交点 x² − x − 2 = 0 → −1、2 → (1/6)・27 = 9/2
理由：上 − 下 = −a(x − α)(x − β) の積分が (a/6)(β − α)³ になる。共通テストではこの公式で時間を節約する。放物線どうし・放物線と直線に限る（3 次関数には別の公式）。
5. 定積分と関数
ここまでできれば十分
定積分で表された関数の微分： d/dx ∫ₐˣ f(t) dt = f(x)（上端が x なら、積分してから微分すると元に戻る）
d/dx ∫₁ˣ (t² + 1) dt = x² + 1 ∫ₐˣ f(t) dt = x² − 3x + 2 のとき、両辺を微分して f(x) = 2x − 3。x = a を代入すると 0 = a² − 3a + 2 → a = 1、2
定積分を含む等式：定積分は定数なので k とおく。
f(x) = x + ∫₀¹ f(t) dt → ∫₀¹ f(t) dt = k とおくと f(x) = x + k。k = ∫₀¹ (t + k) dt = 1/2 + k → 矛盾？ … この場合は解なし。 f(x) = 2x + ∫₀¹ f(t) dt：k = ∫₀¹ (2t + k) dt = 1 + k … 同様。（等式が成り立つように問題が作られていれば k が決まる。例：f(x) = x + 2∫₀¹ f(t) dt → k = ∫₀¹(t + 2k)dt = 1/2 + 2k → k = −1/2 → f(x) = x − 1）
6. 絶対値・3 次関数の面積（発展）
もう一歩
絶対値：∫₀³ |x − 1| dx → x = 1 で分ける：∫₀¹ (1 − x) dx + ∫₁³ (x − 1) dx = 1/2 + 2 = 5/2
3 次関数と接線：y = f(x) と接線が x = α で接し x = β で交わる → 面積 (|a|/12)(β − α)⁴。
3 次関数と x 軸：上下が入れかわる区間ごとに分けて足す。
7. よくある間違い
- ∫xⁿ dx で n + 1 で割り忘れる
- 定積分で「下端 − 上端」にする
- 面積で「下 − 上」にして負の値を出す → 面積は正
- x 軸より下の部分の面積で符号を変え忘れる
- 1/6 公式を 3 次関数に使う
8. 自己チェック
- ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C。積は展開
- 定積分は F(b) − F(a)
- 面積は交点 → 上下 → 上 − 下
- 放物線と直線なら (|a|/6)(β − α)³
- 定積分は定数（k とおく）。上端 x なら微分で戻る
9. 小テストへ
→ 小テスト（h2-13）
関連する単元
参考資料
- 文部科学省『高等学校学習指導要領（平成30年告示）解説 数学編 理数編』── 数学Ⅱ「(5) 微分・積分の考え ア(イ) 積分の考え」
受験のしらべ ／ https://juken-shirabe.com/daigaku/math/h2-13/ ／ 更新 2026-09-12