小テスト／ h2-13

積分・面積

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積分・面積 ── 問題

不定積分 ∫(3x² − 4x + 3) dx を求めなさい。　（ア 3x³ − 4x² + 3x + C　イ x³ − 2x² + C　ウ 6x − 4 + C　エ x³ − 2x² + 3x + C）
定積分 ∫_0^3 (−x² + 4x + 1) dx の値を求めなさい。
放物線 y = x² − 9x + 14 と x 軸で囲まれた部分の面積を求めなさい。
放物線 y = x² と直線 y = 4x − 3 で囲まれた部分の面積を求めなさい。
∫₋₂² (x³ + 3x² − 5x + 1) dx の値はどれですか。　（ア 20　イ 24　ウ 0　エ 16）

2 つの曲線 y = 2x² − 1 と y = 2x + 3 で囲まれた部分の面積を求めなさい。
d/dx ∫_−2^x (t² + 3t − 1) dt を求めなさい。　（ア x² + 3x − 1　イ 2x + 3　ウ x² + 3x + 2　エ x³/3 + 3x²/2 − x）
関数 f(x) が f(x) = 4x + 4 + 2∫₀¹ f(t) dt を満たすとき、f(x) を求めなさい。　（ア 4x + 4　イ 4x − 8　ウ 4x + 6　エ 4x）
∫₀³ |x − 1| dx の値はどれですか。　（ア 2　イ 3/2　ウ 5/2　エ 9/2）
∫ₐˣ f(t) dt = x² − 3x + 2 のとき、a の値はどれですか。　（ア a = 0　イ a = 1、2　ウ a = 2　エ a = 1）
図の放物線 y = −x² + 4x − 3 と x 軸で囲まれた斜線部分の面積を求めなさい。
数直線上を動く点 P の t 秒後の速度が v(t) = t² − 8t + 12（m/秒）で与えられる。t = 0 から t = 6 までに P が動いた道のり（向きによらず進んだ長さの合計）を求めなさい。
定積分 ∫₋₃³ (x³ − 2x² + 5x + 4) dx を計算したい。太郎：そのまま計算すると数が大きくて大変だね。花子：奇数次の項は −3 から 3 までの積分で打ち消しあうよ。値はどれですか。　（ア −12　イ 12　ウ −6　エ −36）
空の水そうに、水を入れ始めてから t 分後に毎分 (6t − t²) L の割合で水が流れこむ（0 ≦ t ≦ 6）。6 分間にたまる水の量はどれですか。　（ア 36 L　イ 9 L　ウ 108 L　エ 54 L）

y = x³ − 3x と x 軸で囲まれた 2 つの部分の面積の和はどれですか。　（ア 9/2　イ 3　ウ 9/4　エ 0）
放物線 y = x² と、その上の点 (1, 1) における接線 y = 2x − 1、および y 軸で囲まれた部分の面積はどれですか。　（ア 2/3　イ 1/6　ウ 1/2　エ 1/3）
F′(x) = 3x² − 2x、F(1) = 2 を満たす F(x) はどれですか。　（ア x³ − x² + 2　イ x³ − x² + 1　ウ 3x³ − 2x² + 1　エ x³ − x²）
放物線 y = x² 上の 2 点 (0, 0)、(5, 25) における 2 本の接線と、この放物線で囲まれた部分の面積を求めなさい。
関数 f(x) = ∫₀ˣ (t² − 4t + 3) dt の極大値と、そのときの x の組み合わせはどれですか。　（ア x = 3 で極大値 4/3　イ x = 3 で極大値 0　ウ x = 1 で極大値 0　エ x = 1 で極大値 4/3）
放物線 y = x(2 − x) と x 軸で囲まれた部分の面積を、直線 y = ax（0 < a < 2）が 2 等分するときの a を求めたい。太郎：全体の面積は 1/6 公式で 4/3 だね。花子：直線と放物線で囲まれた部分も 1/6 公式で表せるよ。 a の値はどれですか。　（ア a = 2 − ∛4　イ a = 2 − √2　ウ a = 1　エ a = ∛4 − 1）

エ　x³ − 2x² + 3x + C　∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C。各項を積分して x³ − 2x² + 3x + C
12　原始関数 F(x) = −x³/3 + 2x² + x。F(3) − F(0) = 12 − (0) = 12。
125/6　x 軸との交点は x = 2、7。その間でグラフはx 軸より下。1/6 公式：(1/6)(7 − (2))³ = 125/6。
4/3　交点：x² = 4x − 3 → x = 1、3。その間では直線が上。1/6 公式：(1/6)(3 − (1))³ = 4/3。
ア　20　奇関数の項は消え、2∫₀² (3x² + 1) dx = 2[x³ + x]₀² = 20。

9　差をとると 2(x + 1)(x − 2)。交点 x = −1、2。x² の係数の差 2 で 1/6 公式：(2/6)(2 − (−1))³ = 9。
ア　x² + 3x − 1　上端が x の定積分を x で微分すると、被積分関数の t を x にしたものになる。x² + 3x − 1
イ　4x − 8　∫₀¹ f(t) dt = k（定数）とおくと f(x) = 4x + 4 + 2k。k = ∫₀¹ (4t + 4 + 2k) dt = 2 + 4 + 2k → k = −6。f(x) = 4x + 4 + 2k = 4x − 8
ウ　5/2　x = 1 で分ける：∫₀¹ (1 − x) dx + ∫₁³ (x − 1) dx = 1/2 + 2。
イ　a = 1、2　x = a を代入すると左辺 0：a² − 3a + 2 = 0。
4/3　x 軸との交点は x = 1、3。面積 = ∫_1^3 {−(x − 1)(x − 3)} dx = (3 − (1))³/6 = 4/3（1/6 公式）。
64/3　0 ≦ t ≦ 2 では v ≧ 0、2 ≦ t ≦ 6 では v ≦ 0。道のり = ∫₀^2 v dt − ∫_2^6 v dt = 32/3 + 32/3 = 64/3（位置の変化 ∫₀^6 v dt = 0 とは別もの）。
ア　−12　x³ と 5x は奇関数で、−3 から 3 までの積分は 0。残りは 2∫₀³ (−2x² + 4) dx = 2(−18 + 12) = −12。
ア　36 L　たまる量は流れこむ割合の定積分。∫₀⁶ (6t − t²) dt = [3t² − t³/3]₀⁶ = 108 − 72 = 36 L（1/6 公式でも 6³/6 = 36）。

ア　9/2　交点 x = 0、±√3。対称性より 2 × ∫₀^√3 (3x − x³) dx = 2[3x²/2 − x⁴/4]₀^√3 = 2(9/2 − 9/4) = 9/2。
エ　1/3　∫₀¹ {x² − (2x − 1)} dx = ∫₀¹ (x − 1)² dx = 1/3。
ア　x³ − x² + 2　F(x) = x³ − x² + C、F(1) = C = 2。
125/12　接線は y = 0、y = 10x − 25 で、交点の x 座標は 5/2。放物線と接線の差は、x = 0 から 5/2 までは x²、x = 5/2 から 5 までは (x − 5)²。それぞれ積分して足すと、面積は 125/12。
エ　x = 1 で極大値 4/3　f′(x) = x² − 4x + 3 = (x − 1)(x − 3)。x = 1 で極大、x = 3 で極小。f(1) = ∫₀¹ (t² − 4t + 3) dt = 1/3 − 2 + 3 = 4/3。
ア　a = 2 − ∛4　全体は ∫₀² x(2 − x) dx = 2³/6 = 4/3。y = ax との交点は x = 0、2 − a で、囲む面積は (2 − a)³/6。これが 2/3 なので (2 − a)³ = 4、a = 2 − ∛4。

受験のしらべ／ https://juken-shirabe.com/daigaku/math/h2-13/test/ ／問題は毎回の表示で数が変わります。印刷したものはその一例です。

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