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小テスト ／ ha-02

組合せ（同じものを含む順列・組分け）

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組合せ（同じものを含む順列・組分け） ── 問題

基礎

  1. 7C2 の値を求めなさい。
  2. 9 人の中から 2 人の委員を選ぶ選び方は何通りありますか。
  3. 男子 5 人、女子 5 人の中から、男子 1 人と女子 1 人を選ぶ選び方は何通りありますか。
  4. APPLE の文字をすべて並べてできる文字列は何通りありますか。
  5. 碁盤の目の道で、A 地点から右に 6 区画、上に 5 区画進んだ B 地点まで行く最短経路は何通りありますか。
  6. ₁₀C₈ の値はどれですか。　（ア 10　イ 90　ウ 80　エ 45）

標準

  1. 男子 7 人、女子 4 人の中から 2 人を選ぶとき、少なくとも 1 人は女子が含まれる選び方は何通りありますか。
  2. 9 人を 3 人ずつ 3 組に分ける方法は何通りありますか。ただし組に区別はないものとします。
  3. 平行な直線が 6 本あり、それらと交わる別の平行な直線が 5 本ある。これらの直線で囲まれる平行四辺形は何個ありますか。
  4. 円周上に 8 個の点がある。これらを頂点とする三角形は何個作れますか。
  5. 6 人を 3 人、2 人、1 人の 3 組に分ける方法は何通りですか。　（ア 60 通り　イ 20 通り　ウ 10 通り　エ 360 通り）
  6. 八角形の対角線の本数はどれですか。　（ア 20 本　イ 28 本　ウ 24 本　エ 16 本）
  7. 10 人の中から、委員長 1 人と委員 4 人を選ぶ。選び方は何通りありますか。
  8. Aさん「6 人を 2 人ずつ 3 組に分ける方法は ₆C₂ × ₄C₂ × ₂C₂ = 90 通りだね。」 Bさん「組に名前がついていないなら、同じ分け方を何回も数えているよ。」 組に区別がないときの分け方の数はどれですか。　（ア 30 通り　イ 15 通り　ウ 45 通り　エ 90 通り）

発展

  1. 右に 4 区画、上に 3 区画の碁盤の目で、A から B へ行く最短経路のうち、右に 2・上に 1 の地点 P を通るものは何通りですか。　（ア 10 通り　イ 12 通り　ウ 35 通り　エ 18 通り）
  2. 10 人から 4 人を選ぶとき、特定の 2 人 A、B がともに含まれる選び方は何通りですか。　（ア 28 通り　イ 210 通り　ウ 56 通り　エ 45 通り）
  3. 「委員長 1 人と副委員長 1 人を選ぶ」と「委員 2 人を選ぶ」を 8 人から行うとき、それぞれの場合の数の組み合わせはどれですか。　（ア 56 通りと 56 通り　イ 64 通りと 28 通り　ウ 56 通りと 28 通り　エ 28 通りと 56 通り）
  4. 碁盤の目の道で、A 地点から右に 4 区画、上に 4 区画進んだ B 地点まで最短経路で行く。A から右に 1 区画、上に 1 区画の地点 P が工事で通れないとき、最短経路は何通りありますか。
  5. A、A、B、B、B、C の 6 文字を一列に並べる。 Aさん「2 つの A が隣り合わない並べ方を数えたい。」 Bさん「隣り合う並べ方を全体から引けば早いよ。」 2 つの A が隣り合わない並べ方は何通りですか。　（ア 20 通り　イ 60 通り　ウ 40 通り　エ 50 通り）

組合せ（同じものを含む順列・組分け） ── 解答

基礎

  1. 21　7C2 = (7 × 6) / (2 × 1) = 21。
  2. 36　順番は関係ないので組合せ 9C2 = 36 通り。
  3. 25　男子の選び方 5C1 = 5、女子の選び方 5C1 = 5。積の法則で 5 × 5 = 25 通り。
  4. 60　同じものを含む順列：5! ÷ (2!) = 60 通り。
  5. 462　右 6 個・上 5 個の並べ方 = 11! / (6! 5!) = 11C6 = 462 通り。
  6. エ　45　₁₀C₈ = ₁₀C₂ = 45。

標準

  1. 34　全体 11C2 = 55 から、男子だけ 7C2 = 21 を引く。34 通り。
  2. 280　組に名前があるとして 9C3 × 6C3 × 3C3 = 1680。同じ人数の組 3 個の区別をなくすので 3! = 6 で割って 280 通り。
  3. 150　各方向から 2 本ずつ選ぶ。6C2 × 5C2 = 15 × 10 = 150 個。
  4. 56　どの 3 点も一直線上にないので、3 点を選べば三角形が 1 つ決まる。8C3 = 56 個。
  5. ア　60 通り　₆C₃ × ₃C₂ × ₁C₁ = 20 × 3 × 1 = 60。人数が違うので組は区別され、割らない。
  6. ア　20 本　₈C₂ − 8 = 28 − 8 = 20。
  7. 1260　委員長を 10 通り選び、残り 9 人から委員 4 人を選ぶ。10 × 126 = 1260。（先に 5 人を選んでから委員長を決めても同じ）
  8. イ　15 通り　90 通りは組を「1 組目・2 組目・3 組目」と区別した数。3 組の入れかえ 3! = 6 通りが同じ分け方になるので 90 ÷ 6 = 15。

発展

  1. エ　18 通り　A → P（右 2・上 1）：₃C₁ = 3 通り。P → B（右 2・上 2）：₄C₂ = 6 通り。積の法則で 3 × 6 = 18。
  2. ア　28 通り　A、B を先に入れ、残り 8 人から 2 人 → ₈C₂ = 28。
  3. ウ　56 通りと 28 通り　役職が違えば順列 ₈P₂ = 56。役職が同じなら組合せ ₈C₂ = 28。
  4. 30　全体 70 通りから、P を通る道 2 × 20 = 40 通りを引いて 30。
  5. ウ　40 通り　全体は 6!/(2!3!) = 60。A 2 つをまとめて 1 文字とみると 5!/3! = 20。60 − 20 = 40。

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