三角形の性質（五心・角の二等分線・チェバ・メネラウス） ── 問題
基礎
- △ABC で AB = 2、AC = 4、BC = 4 とする。∠A の二等分線と辺 BC の交点を D とするとき、BD の長さを求めなさい。
- △ABC の重心を G、辺 BC の中点を M とする。AM = 10 のとき、AG の長さを求めなさい。
- 三角形の垂心は、何の交点ですか。 （ア 3 頂点から対辺に下ろした垂線 イ 3 辺の垂直二等分線 ウ 3 本の中線 エ 3 つの内角の二等分線）
- △ABC の内心を I とする。∠A = 30° のとき、∠BIC の大きさを求めなさい。
- 直角三角形の外心はどこにありますか。 （ア 斜辺の中点 イ 三角形の外部 ウ 直角の頂点 エ 三角形の内部）
標準
- △ABC で、AR : RB = 2 : 3、BP : PC = 4 : 3（R は辺 AB 上、P は辺 BC 上）。線分 AP と CR の交点を O とし、直線 BO と辺 CA の交点を Q とするとき、CQ : QA を求めなさい。 （ア 9 : 4 イ 2 : 1 ウ 1 : 2 エ 9 : 8 undefined 8 : 9）
- △ABC で、辺 AB を 3 : 2 に内分する点を R、辺 BC を 4 : 1 に内分する点を P とし、直線 RP と辺 CA の延長の交点を Q とする。CQ : QA を求めなさい。 （ア 3 : 8 イ 1 : 3 ウ 1 : 6 エ 6 : 1 undefined 8 : 3）
- 3 辺の長さが 3、10、x の三角形が存在するような x の範囲を求めなさい。 （ア 3 < x < 10 イ 7 ≦ x ≦ 13 ウ 7 < x < 13 エ x < 13）
- △ABC で AB = 6、AC = 4、BC = 5。∠A の外角の二等分線が直線 BC と交わる点を E とするとき、CE の長さはどれですか。 （ア 10 イ 2 ウ 15 エ 5）
- △ABC で a = 7、b = 5、c = 3 のとき、角の大小として正しいものはどれですか。 （ア A > C > B イ B > A > C ウ C > B > A エ A > B > C）
- △ABC で BC = 9、CA = 6、AB = 6 とする。内心を I、直線 AI と辺 BC の交点を D とするとき、AI/ID の値を求めなさい。
- △ABC の面積は 72 である。辺 AB を 2 : 3 に内分する点を D、辺 AC の中点を E とするとき、△ADE の面積を求めなさい。
- 3 つの町 A、B、C から等しい距離にある場所に、防災倉庫を建てたい。 Aさん「三角形 ABC のどの点を考えればいいかな。」 建てる場所として正しいものはどれですか。 （ア 3 本の中線の交点（重心） イ 3 辺の垂直二等分線の交点（外心） ウ 頂点から下ろした垂線の交点（垂心） エ 3 つの角の二等分線の交点（内心））
- 三角形の形をした厚紙を、指 1 本で水平に支えたい。 Aさん「重心で支えればつり合うよ。重心は中線上にあるね。」 頂点 A から辺 BC の中点 M までの長さが 9 cm のとき、支える点は A から何 cm の位置ですか。 （ア 6 cm イ 9 cm ウ 3 cm エ 4.5 cm）
発展
- △ABC の重心を G とする。△GBC の面積は △ABC の面積の何倍ですか。 （ア 1/3 倍 イ 1/2 倍 ウ 2/3 倍 エ 1/6 倍）
- △ABC で、辺 AB の中点を M、辺 AC を 2 : 1 に内分する点を N とし、BN と CM の交点を P とする。BP : PN はどれですか。 （ア 3 : 1 イ 4 : 1 ウ 2 : 1 エ 3 : 2）
- AB = AC の二等辺三角形について、必ず正しいものはどれですか。 （ア 重心は辺 BC の中点と一致する イ 外心・内心・重心・垂心はすべて 1 点で一致する ウ 垂心はいつも三角形の内部にある エ 外心・内心・重心・垂心は ∠A の二等分線上にある）
- 3 辺の長さが x、x + 1、x + 2 の三角形が鈍角三角形となる x の範囲を求めたい。 Aさん「まず三角形ができる条件を考えよう。」 Bさん「いちばん長い辺の向かいの角が鈍角になる条件も必要だね。」 求める x の範囲として正しいものはどれですか。 （ア x > 1 イ x > 3 ウ 1 < x < 3 エ 0 < x < 3）
三角形の性質（五心・角の二等分線・チェバ・メネラウス） ── 解答
基礎
- 4/3 BD : DC = AB : AC = 2 : 4。BD = BC × 2/(2 + 4) = 4 × 2/6 = 4/3。
- 20/3 重心は中線を 2 : 1 に分ける（頂点側が 2）。AG = 10 × 2/3 = 20/3。
- ア 3 頂点から対辺に下ろした垂線 外心＝垂直二等分線（外接円の中心）、内心＝角の二等分線（内接円の中心）、重心＝中線、垂心＝垂線。3 頂点から対辺に下ろした垂線
- 105 ∠BIC = 180° − (∠B + ∠C)/2 = 180° − (180° − ∠A)/2 = 90° + ∠A/2 = 90° + 15° = 105°。
- ア 斜辺の中点 斜辺が外接円の直径になるので、外心は斜辺の中点。
標準
- エ 9 : 8 チェバの定理：(BP/PC)(CQ/QA)(AR/RB) = 1 → (4/3)(CQ/QA)(2/3) = 1 → CQ/QA = 9/8。9 : 8
- ウ 1 : 6 メネラウスの定理（△ABC と直線 RPQ）：(BP/PC)(CQ/QA)(AR/RB) = 1 → (4/1)(CQ/QA)(3/2) = 1 → CQ/QA = 1/6。1 : 6
- ウ 7 < x < 13 三角形の成立条件：|10 − 3| < x < 10 + 3。7 < x < 13
- ア 10 BE : EC = AB : AC = 3 : 2（外分）。BE − EC = BC = 5 より EC = 10。
- エ A > B > C 大きい辺の向かいの角が大きい。
- 4/3 AD は ∠A の二等分線なので BD : DC = 6 : 6、BD = 9/2。BI は ∠B の二等分線なので AI : ID = AB : BD = 6 : 9/2。AI/ID = 4/3。
- 72/5 △ADE と △ABC は ∠A が共通。面積比は (AD/AB) × (AE/AC) = 2/5 × 1/2。72 × 2/5 × 1/2 = 72/5。
- イ 3 辺の垂直二等分線の交点（外心） 3 頂点から等しい距離の点は外心（外接円の中心）。内心は 3 辺から等しい距離の点で、ここでは使わない。
- ア 6 cm 重心は中線 AM を A の側から 2 : 1 に内分する点。9 × 2/3 = 6 cm。3 cm は M からの距離。
発展
- ア 1/3 倍 中線 AM 上で GM : AM = 1 : 3。BC を底辺とすると高さが 1/3 なので面積も 1/3。
- ア 3 : 1 △ABN と直線 MPC でメネラウス：(AM/MB)(BP/PN)(NC/CA) = 1 → (1/1)(BP/PN)(1/3) = 1 → BP/PN = 3。
- エ 外心・内心・重心・垂心は ∠A の二等分線上にある ∠A の二等分線は BC の垂直二等分線でもあり中線でもあるので、4 つの中心がその上に並ぶ。一致するのは正三角形のとき。
- ウ 1 < x < 3 三角形の条件 x + (x + 1) > x + 2 より x > 1。最大辺 x + 2 の向かいの角が鈍角 ⇔ (x + 2)² > x² + (x + 1)² ⇔ x² − 2x − 3 < 0 ⇔ −1 < x < 3。あわせて 1 < x < 3。
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