数学A ／ 図形の性質 ／ ha-05

更新 2026-09-12

三角形の性質 ── 角の二等分線・五心・チェバ・メネラウスの定理

この単元でできるようになること

• 内角・外角の二等分線と辺の比の関係が使える
• 三角形の五心（外心・内心・重心・垂心・傍心）の定義と性質がわかる
• 重心が中線を 2 : 1 に分けることを使って長さが求められる
• チェバの定理・メネラウスの定理で、線分の比が求められる
• 三角形の成立条件・辺と角の大小関係がわかる

入試での位置づけ

「図形の性質」は共通テスト数学A の選択問題（近年は必答化の流れ）で、角の二等分線の比・重心・メネラウスの定理が定番です。証明問題は少なく、比を計算で出す問題が中心。三角比（h1-11・12）や円の性質（ha-06）と組み合わせて出ます。

1. 角の二等分線と比

まずここだけ

内角の二等分線：△ABC で ∠A の二等分線が BC と交わる点を D とすると、

BD : DC = AB : AC

AB = 6、AC = 4、BC = 5 なら BD : DC = 6 : 4 = 3 : 2 → BD = 5 × 3/5 = 3、DC = 2

外角の二等分線：∠A の外角の二等分線が BC の延長と交わる点を E とすると、

BE : EC = AB : AC（外分）

AB = 6、AC = 4、BC = 5：BE : EC = 3 : 2 で E は C の外側。BE − EC = 5、BE : EC = 3 : 2 → EC = 10、BE = 15

覚え方

「二等分線は、向かいの辺を隣の 2 辺の比に分ける」。

2. 三角形の五心

まずここだけ

外心の位置

• 鋭角三角形 → 内部
• 直角三角形 → 斜辺の中点（斜辺が直径）
• 鈍角三角形 → 外部

内心の角

∠BIC = 90° + ∠A/2（内心 I について）

∠A = 60° なら ∠BIC = 120°

重心の計算

中線 AM（M は BC の中点）上で AG : GM = 2 : 1。

AM = 9 なら AG = 6、GM = 3

正三角形では五心（傍心以外）がすべて一致、二等辺三角形では外心・内心・重心・垂心が頂角の二等分線上にある。

3. チェバの定理

ここまでできれば十分

△ABC の内部の点 O を通る直線が、辺 BC、CA、AB（またはその延長）と P、Q、R で交わるとき、

(BP/PC) × (CQ/QA) × (AR/RB) = 1

「頂点 A から出発して、B → P → C → Q → A → R → B と一周する形で分数をかけると 1」。

AR : RB = 1 : 2、BP : PC = 3 : 2 のとき CQ : QA (3/2) × (CQ/QA) × (1/2) = 1 → CQ/QA = 4/3 → CQ : QA = 4 : 3

4. メネラウスの定理

ここまでできれば十分

△ABC の辺 BC、CA、AB（またはその延長）が 1 本の直線と P、Q、R で交わるとき、

(BP/PC) × (CQ/QA) × (AR/RB) = 1

チェバと同じ形。違いは、チェバは「点」を通る 3 直線、メネラウスは「1 直線」が横切る。

使い方（比を求める定番）

△ABC で、AB を 2 : 1 に内分する点 R、BC を 1 : 3 に内分する点 P をとり、直線 RP と AC の延長の交点を Q とする。CQ : QA を求めよ。 メネラウス（△ABC と直線 RPQ）：(BP/PC)(CQ/QA)(AR/RB) = (1/3)(CQ/QA)(2/1) = 1 → CQ/QA = 3/2 → CQ : QA = 3 : 2

コツ

• どの三角形に、どの直線かを先に決める（三角形の 3 辺が 1 本の直線に切られている形を探す）
• 一周する順に、「頂点 → 分点 → 頂点 → 分点 → …」と書く
• 分数の向きを 1 つ決めたら（B→P/P→C）、あとは同じ向きに回す

5. 三角形の辺と角

ここまでできれば十分

成立条件：3 辺 a、b、c が三角形を作る ⇔ |b − c| < a < b + c（どの辺も、他 2 辺の差より大きく和より小さい）

3、5、x が三角形になる x の範囲：2 < x < 8

辺と角の大小：大きい辺の向かいの角が大きい（逆も成り立つ）。

a = 7、b = 5、c = 3 なら A > B > C

6. よくある間違い

• 角の二等分線の比を BD : DC = AB : BC としてしまう（AB : AC、二等分線をはさむ 2 辺）
• 重心の比 2 : 1 を、頂点側 1 と逆にする
• メネラウスで一周の順序が崩れる（分数の分子・分母が逆）
• 外心と内心を混同する（外心 = 垂直二等分線、内心 = 角の二等分線）

7. 自己チェック

1. 角の二等分線：BD : DC = AB : AC
2. 外心 = 垂直二等分線の交点、内心 = 角の二等分線の交点、重心 = 中線の交点（2 : 1）
3. チェバ・メネラウスは「一周」して分数の積 = 1
4. メネラウスは「1 本の直線が三角形の 3 辺（延長）を切る」形
5. 三角形の成立条件 |b − c| < a < b + c

8. 小テストへ

→ 小テスト（ha-05）

関連する単元

• 前提：中2 m2-11 三角形の性質、中3 m3-11 相似
• 次に進む：ha-06 円の性質
• ここで使う考え方が出てくる：h1-12 図形の計量（内接円・外接円）、hc-02 ベクトルと図形（重心・内分）

参考資料

• 文部科学省『高等学校学習指導要領（平成30年告示）解説 数学編 理数編』── 数学A「(1) 図形の性質 ア(ア) 平面図形（三角形の性質）」

受験のしらべ ／ https://juken-shirabe.com/daigaku/math/ha-05/ ／ 更新 2026-09-12

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