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小テスト ／ ha-07

約数と倍数・ユークリッドの互除法・一次不定方程式

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約数と倍数・ユークリッドの互除法・一次不定方程式 ── 問題

基礎

  1. 54 の正の約数の個数を求めなさい。
  2. 12 と 42 の最大公約数 G と最小公倍数 L を求めなさい。　（ア G = 84、L = 6　イ G = 6、L = 84　ウ G = 12、L = 42　エ G = 6、L = 504）
  3. ユークリッドの互除法を使って、665 と 228 の最大公約数を求めなさい。
  4. 一次不定方程式 5x + 8y = 1 の整数解をすべて求めなさい。　（ア x = 5k − 3、y = −8k + 2（k は整数）　イ x = 8k − 3、y = −5k + 2（k は整数）　ウ x = −3、y = 2 のみ　エ x = 8k − 3、y = 5k + 2（k は整数））
  5. 6x + 4y = 3 の整数解について正しいものはどれですか。　（ア x = 2k + 1、y = −3k　イ 無数にある　ウ x = 1、y = −3/4 が解　エ 整数解はない）

標準

  1. 一次不定方程式 4x + 7y = 8 の整数解をすべて求めなさい。　（ア x = 4k + 2、y = −7k（k は整数）　イ x = 7k + 2、y = 4k（k は整数）　ウ x = 2、y = 0 のみ　エ x = 7k + 2、y = −4k（k は整数））
  2. 36 の正の約数の総和を求めなさい。
  3. 最大公約数が 4、最小公倍数が 60 である 2 つの正の整数の積を求めなさい。
  4. n を整数とするとき、n² を 3 で割った余りとしてあり得るものはどれですか。　（ア 1 または 2　イ 0 のみ　ウ 0、1、2 のすべて　エ 0 または 1）
  5. 37x + 11y = 1 の整数解の 1 つはどれですか。　（ア x = −3、y = 10　イ x = 1、y = −3　ウ x = 10、y = −3　エ x = 3、y = −10）
  6. 縦 12 cm、横 18 cm の長方形のタイルを、同じ向きにすき間なく並べて、できるだけ小さい正方形を作る。タイルは何枚必要ですか。
  7. 駅から、A 行きのバスは 12 分おき、B 行きのバスは 14 分おきに発車する。午前 7 時に両方が同時に発車した。午前 7 時から正午までの間に、両方が同時に発車するのは何回ありますか。（午前 7 時と正午をふくむ）
  8. Aさん「391 と 299 の最大公約数を互除法で求めたよ。391 = 299 × 1 + 92、299 = 92 × 3 + 23、92 = 23 × 4 だから 23 だね。」 Bさん「それなら最小公倍数もすぐ出るよ。」 391 と 299 の最小公倍数はどれですか。　（ア 116909　イ 3887　ウ 5083　エ 8993）

発展

  1. 3x + 5y = 7 を満たす正の整数 x、y の組について正しいものはどれですか。　（ア 無数にある　イ 存在しない　ウ (x, y) = (−1, 2) のみ　エ (x, y) = (4, −1) のみ）
  2. (n + 7)/(n + 2) が整数となる整数 n の個数はどれですか。　（ア 2 個　イ 3 個　ウ 4 個　エ 5 個）
  3. xy − 2x − 3y = 0 を満たす正の整数 x、y の組の個数はどれですか。　（ア 2 組　イ 4 組　ウ 6 組　エ 3 組）
  4. 30 円切手と 130 円切手を、どちらも 1 枚以上使って、ちょうど 1390 円分にする。枚数の組み合わせは何通りありますか。
  5. 6 で割ると 5 余り、8 で割ると 7 余る 3 けたの整数のうち、最も小さいものを求めたい。 Aさん「どちらも『あと 1 で割り切れる』数だね。」 求める整数はどれですか。　（ア 95　イ 143　ウ 127　エ 119）

約数と倍数・ユークリッドの互除法・一次不定方程式 ── 解答

基礎

  1. 8　54 = 2 × 3^3。約数の個数は (指数 + 1) の積 = 2 × 4 = 8 個。
  2. イ　G = 6、L = 84　12 = 6 × 2、42 = 6 × 7。G = 6、L = 6 × 2 × 7 = 84。（検算：12 × 42 = 504 = G × L）G = 6、L = 84
  3. 19　665 = 228 × 2 + 209、次に 228 と 209 で同じことをくり返し、余りが 0 になったときの割る数が最大公約数 19。
  4. イ　x = 8k − 3、y = −5k + 2（k は整数）　特殊解 x = −3、y = 2。引いて 5(x − (−3)) = −8(y − (2))。5 と 8 は互いに素なので x − (−3) = 8k。x = 8k − 3、y = −5k + 2（k は整数）
  5. エ　整数解はない　左辺は 2(3x + 2y) で偶数、右辺 3 は奇数。3 が gcd(6, 4) = 2 の倍数でないので解なし。

標準

  1. エ　x = 7k + 2、y = −4k（k は整数）　特殊解 x = 2、y = 0（4x + 7y = 1 の解を 8 倍して整えたもの）。引いて互いに素を使うと x = 7k + 2、y = −4k（k は整数）
  2. 91　36 = 2^2 × 3^2。総和 = (1 + 2 + … ) × (1 + 3 + …) × … = 7 × 13 × 1 = 91。
  3. 240　2 数の積 = G × L = 4 × 60 = 240。
  4. エ　0 または 1　n = 3k、3k ± 1 で場合分けすると余りは 0、1、1。
  5. エ　x = 3、y = −10　37 × 3 − 11 × 10 = 111 − 110 = 1。互除法を逆にたどると得られる。
  6. 6　正方形の 1 辺は 12 と 18 の最小公倍数 36 cm。縦に 36 ÷ 12 = 3 枚、横に 36 ÷ 18 = 2 枚で 6 枚。
  7. 4　同時に発車する間かくは 12 と 14 の最小公倍数 84 分。5 時間 = 300 分の間に 0 分・84 分・… と数えて 4 回。
  8. ウ　5083　最小公倍数 = 2 数の積 ÷ 最大公約数。391 = 23 × 17、299 = 23 × 13 なので 23 × 17 × 13 = 5083。

発展

  1. イ　存在しない　一般解 x = 5k + 4、y = −3k − 1。x > 0 は k ≧ 0、y > 0 は k ≦ −1 で両立しない。
  2. ウ　4 個　1 + 5/(n + 2) より n + 2 は 5 の約数 ±1、±5 → n = −1、−3、3、−7。
  3. イ　4 組　(x − 3)(y − 2) = 6。正の整数解は (x − 3, y − 2) = (1,6)(2,3)(3,2)(6,1) の 4 組（負の約数は x、y が正にならない）。
  4. 4　30x + 130y = 1390 の正の整数解を数える。一つの解を見つけたら、x を 13 ずつ増やし y を 3 ずつ減らしても成り立つ（両方 1 以上の範囲）。4 通り。
  5. エ　119　1 を足すと 6 でも 8 でも割り切れるので、n + 1 は 24 の倍数。n = 24k − 1 で 3 けたの最小は k = 5 の 119。95 は 2 けた。

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