約数と倍数・ユークリッドの互除法・一次不定方程式 ── 問題
基礎
- 216 の正の約数の個数を求めなさい。
- 18 と 48 の最大公約数 G と最小公倍数 L を求めなさい。 （ア G = 144、L = 6 イ G = 6、L = 864 ウ G = 6、L = 144 エ G = 18、L = 48）
- ユークリッドの互除法を使って、270 と 70 の最大公約数を求めなさい。
- 一次不定方程式 7x + 9y = 1 の整数解をすべて求めなさい。 （ア x = 4、y = −3 のみ イ x = 7k + 4、y = −9k − 3（k は整数） ウ x = 9k + 4、y = −7k − 3（k は整数） エ x = 9k + 4、y = 7k − 3（k は整数））
- 6x + 4y = 3 の整数解について正しいものはどれですか。 （ア x = 2k + 1、y = −3k イ 無数にある ウ x = 1、y = −3/4 が解 エ 整数解はない）
標準
- 一次不定方程式 2x + 5y = 8 の整数解をすべて求めなさい。 （ア x = 5k + 4、y = 2k（k は整数） イ x = 4、y = 0 のみ ウ x = 2k + 4、y = −5k（k は整数） エ x = 5k + 4、y = −2k（k は整数））
- 12 の正の約数の総和を求めなさい。
- 最大公約数が 4、最小公倍数が 56 である 2 つの正の整数の積を求めなさい。
- n を整数とするとき、n² を 3 で割った余りとしてあり得るものはどれですか。 （ア 1 または 2 イ 0 のみ ウ 0、1、2 のすべて エ 0 または 1）
- 37x + 11y = 1 の整数解の 1 つはどれですか。 （ア x = −3、y = 10 イ x = 1、y = −3 ウ x = 10、y = −3 エ x = 3、y = −10）
発展
- 3x + 5y = 7 を満たす正の整数 x、y の組について正しいものはどれですか。 （ア 無数にある イ 存在しない ウ (x, y) = (−1, 2) のみ エ (x, y) = (4, −1) のみ）
- (n + 7)/(n + 2) が整数となる整数 n の個数はどれですか。 （ア 2 個 イ 3 個 ウ 4 個 エ 5 個）
- xy − 2x − 3y = 0 を満たす正の整数 x、y の組の個数はどれですか。 （ア 2 組 イ 4 組 ウ 6 組 エ 3 組）
約数と倍数・ユークリッドの互除法・一次不定方程式 ── 解答
基礎
- 16 216 = 2^3 × 3^3。約数の個数は (指数 + 1) の積 = 4 × 4 = 16 個。
- ウ G = 6、L = 144 18 = 6 × 3、48 = 6 × 8。G = 6、L = 6 × 3 × 8 = 144。（検算：18 × 48 = 864 = G × L）G = 6、L = 144
- 10 270 = 70 × 3 + 60、次に 70 と 60 で同じことをくり返し、余りが 0 になったときの割る数が最大公約数 10。
- ウ x = 9k + 4、y = −7k − 3（k は整数） 特殊解 x = 4、y = −3。引いて 7(x − (4)) = −9(y − (−3))。7 と 9 は互いに素なので x − (4) = 9k。x = 9k + 4、y = −7k − 3（k は整数）
- エ 整数解はない 左辺は 2(3x + 2y) で偶数、右辺 3 は奇数。3 が gcd(6, 4) = 2 の倍数でないので解なし。
標準
- エ x = 5k + 4、y = −2k（k は整数） 特殊解 x = 4、y = 0（2x + 5y = 1 の解を 8 倍して整えたもの）。引いて互いに素を使うと x = 5k + 4、y = −2k（k は整数）
- 28 12 = 2^2 × 3。総和 = (1 + 2 + … ) × (1 + 3 + …) × … = 7 × 4 × 1 = 28。
- 224 2 数の積 = G × L = 4 × 56 = 224。
- エ 0 または 1 n = 3k、3k ± 1 で場合分けすると余りは 0、1、1。
- エ x = 3、y = −10 37 × 3 − 11 × 10 = 111 − 110 = 1。互除法を逆にたどると得られる。
発展
- イ 存在しない 一般解 x = 5k + 4、y = −3k − 1。x > 0 は k ≧ 0、y > 0 は k ≦ −1 で両立しない。
- ウ 4 個 1 + 5/(n + 2) より n + 2 は 5 の約数 ±1、±5 → n = −1、−3、3、−7。
- イ 4 組 (x − 3)(y − 2) = 6。正の整数解は (x − 3, y − 2) = (1,6)(2,3)(3,2)(6,1) の 4 組（負の約数は x、y が正にならない）。
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