等差数列・等比数列 ── 問題
基礎
- 等差数列 −3, 2, 7, 12, … の一般項 aₙ を求めなさい。 （ア aₙ = 5n − 3 イ aₙ = −3n + 5 ウ aₙ = 5n + 8 エ aₙ = 5n − 8）
- 等差数列 {aₙ} で a3 = −7、a12 = −34 のとき、初項 a と公差 d を求めなさい。 （ア a = −1、d = 3 イ a = −4、d = −3 ウ a = −1、d = −3 エ a = −3、d = −1）
- 初項 3、公差 −1 の等差数列の初項から第 11 項までの和を求めなさい。
- 等比数列 3, 15, 75, 375, … の一般項 aₙ を求めなさい。 （ア aₙ = 5 · 3^(n−1) イ aₙ = 3 · 5^n ウ aₙ = 3 + 5(n − 1) エ aₙ = 3 · 5^(n−1)）
- 初項 5、公比 3 の等比数列の初項から第 5 項までの和を求めなさい。
- a、b、c がこの順で等差数列であるとき、成り立つ関係はどれですか。 （ア 2b = a + c イ a + b + c = 0 ウ b² = ac エ b = a + c）
標準
- 等比数列 {aₙ}（公比は実数）で a2 = 6、a5 = 48 のとき、初項 a と公比 r を求めなさい。 （ア a = 3、r = 2 イ a = 3、r = −2 ウ a = 2、r = 3 エ a = 6、r = 2）
- 等差数列 aₙ = −7n + 47 の初項から第 n 項までの和 Sₙ が最大になる n の値を求めなさい。
- 数列 {aₙ} の初項から第 n 項までの和が Sₙ = 3n² + n で表されるとき、一般項 aₙ を求めなさい。 （ア aₙ = 6n + 1 イ aₙ = 6n − 2 ウ aₙ = 3n + 1 エ aₙ = 6n + 4）
- 初項 2、公比 3 の等比数列で、初めて 1000 を超える項は第何項ですか。 （ア 第 7 項 イ 第 8 項 ウ 第 5 項 エ 第 6 項）
- 3、x、12 がこの順で等比数列であるとき、x の値はどれですか。 （ア 7.5 イ 6 ウ ±6 エ ±36）
- 1 日目に 10 円、2 日目に 60 円、3 日目に 110 円、…と、前の日より 50 円ずつ多く貯金する。貯金の合計が初めて 1000 円以上になるのは何日目か求めなさい。
- 1 から 100 までの自然数のうち、3 の倍数でも 5 の倍数でもない数の和を求めたい。 花子：全体の和から、3 の倍数の和と 5 の倍数の和を引けばいいね。 太郎：それだと 15 の倍数を 2 回引いてしまうから、1 回分足し戻そう。 求める和はどれですか。 （ア 2947 イ 2418 ウ 2317 エ 2632）
- 厚さ 0.1 mm の紙を半分に折ることをくり返す（折れるものとする）。厚さが初めて 1 m を超えるのは何回折ったときですか（2¹³ = 8192、2¹⁴ = 16384）。 （ア 10 回 イ 100 回 ウ 14 回 エ 13 回）
発展
- 等差数列で、初項から第 10 項までの和が 100、第 11 項から第 20 項までの和が 300 のとき、公差はどれですか。 （ア 1 イ 2 ウ 3 エ 4）
- 1 から 100 までの整数のうち、3 で割って 1 余る数の和はどれですか。 （ア 1683 イ 1700 ウ 1717 エ 1650）
- 年利 5% で毎年初めに 10 万円ずつ積み立てるとき、3 年目の終わりの元利合計（万円）はどれですか（1.05³ = 1.157625）。 （ア 10 × (1.05³ − 1)/0.05 ≒ 31.5 イ 10 × 1.05 × (1.05³ − 1)/0.05 ≒ 33.1 ウ 30 エ 10 × 1.05² × (1.05³ − 1)/0.05 ≒ 34.8）
- 初項から第 10 項までの和が 8、第 20 項までの和が 16 である等比数列（公比は実数）について、初項から第 30 項までの和を求めなさい。
- 公差が正の等差数列 {aₙ} が、a₃ + a₇ = 26、a₄a₆ = 160 を満たす。一般項はどれですか。 （ア aₙ = 2n + 3 イ aₙ = 3n − 2 ウ aₙ = −3n + 28 エ aₙ = 3n + 1）
- 210 万円を年利 10%（1 年ごとの複利）で借り、1 年後と 2 年後に同じ額 x 万円ずつ返して、2 年後にちょうど返し終える。 太郎：借りた 210 万円は、2 年後には 210 × 1.1² 万円になるね。 花子：1 年後に返した x 万円も、2 年後にそろえると 1.1x 万円分として数えよう。 x の値はどれですか。 （ア 115.5 万円 イ 121 万円 ウ 105 万円 エ 127.05 万円）
等差数列・等比数列 ── 解答
基礎
- エ aₙ = 5n − 8 初項 −3、公差 5。aₙ = −3 + (n − 1)·(5)。整理して aₙ = 5n − 8
- ウ a = −1、d = −3 a12 − a3 = (9)d = −27 → d = −3。a3 = a + 2d = −7 → a = −1。a = −1、d = −3
- −22 末項 a11 = −7。Sₙ = n(初項 + 末項)/2 = 11(3 + (−7))/2 = −22。
- エ aₙ = 3 · 5^(n−1) 初項 3、公比 5。aₙ = a·r^(n−1)。aₙ = 3 · 5^(n−1)
- 605 Sₙ = a(rⁿ − 1)/(r − 1) = 5(243 − 1)/(2) = 605。
- ア 2b = a + c b − a = c − b（等差中項）。等比なら b² = ac。
標準
- ア a = 3、r = 2 a5/a2 = r^3 = 8 → r = 2（k = 3 は奇数なので実数の r は 1 つ）。a2 = a·r^1 = 6 → a = 3。a = 3、r = 2
- 6 項が正である間は足すほど和が増える。47 − 7n ≧ 0 → n ≦ 47/7。n = 6 で最大。
- イ aₙ = 6n − 2 n ≧ 2 で aₙ = Sₙ − Sₙ₋₁。計算すると aₙ = 6n − 2（n = 1 のとき a₁ = S₁ = 4 で一致）。
- ア 第 7 項 2·3ⁿ⁻¹ > 1000 → 3ⁿ⁻¹ > 500。3⁵ = 243、3⁶ = 729 → n − 1 = 6。
- ウ ±6 x² = 3 × 12 = 36。
- 7 n 日目までの合計は等差数列の和 n(2·10 + (n − 1)·50)/2。n = 6 で 810 円、n = 7 で 1120 円なので、初めて 1000 円以上になるのは 7 日目。
- エ 2632 全体 5050。3 の倍数 3〜99（33 個）の和 1683、5 の倍数 5〜100（20 個）の和 1050、15 の倍数 15〜90（6 個）の和 315。5050 − (1683 + 1050 − 315) = 2632。
- ウ 14 回 n 回折ると厚さは 0.1 × 2ⁿ mm。1 m = 1000 mm なので 0.1 × 2ⁿ > 1000、2ⁿ > 10000。2¹³ = 8192 < 10000 < 16384 = 2¹⁴ より 14 回。
発展
- イ 2 S₂₀ − S₁₀ = 300、S₁₀ = 100。10(2a + 9d)/2 = 100、20(2a + 19d)/2 = 400 → 2a + 9d = 20、2a + 19d = 40 → d = 2。
- ウ 1717 1, 4, 7, …, 100（34 項）。34 × (1 + 100)/2 = 1717。
- イ 10 × 1.05 × (1.05³ − 1)/0.05 ≒ 33.1 各回の積立が 1.05、1.05²、1.05³ 倍になる：10(1.05 + 1.05² + 1.05³) = 10 × 1.05 × (1.05³ − 1)/0.05 ≒ 33.1。
- 24 公比を r とすると、第 11〜20 項の和は第 1〜10 項の和の r¹⁰ 倍、第 21〜30 項の和は r²⁰ 倍。16 = 8 + 8r¹⁰ より r¹⁰ = 1。第 30 項までの和は 16 + 8·1² = 24。
- イ aₙ = 3n − 2 a₃ + a₇ = 2a₅ なので a₅ = 13。公差を d とすると a₄a₆ = (13 − d)(13 + d) = 169 − d² = 160、d = ±3。d > 0 より d = 3、a₁ = 13 − 4·3 = 1。aₙ = 1 + 3(n − 1) = 3n − 2。
- イ 121 万円 2 年後の価値でそろえると 210 × 1.21 = 1.1x + x。254.1 = 2.1x より x = 121。
受験のしらべ ／ https://juken-shirabe.com/daigaku/math/hb-01/test/ ／ 問題は毎回の表示で数が変わります。印刷したものはその一例です。
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