数学B ／ 数列 ／ hb-01
等差数列・等比数列
この単元でできるようになること
- 等差数列の一般項 aₙ = a + (n − 1)d と和 Sₙ = n(a + l)/2 = n{2a + (n − 1)d}/2 が使える
- の一般項 aₙ = arⁿ⁻¹ と和 Sₙ = a(rⁿ − 1)/(r − 1) が使える
- 2 つの項の条件から初項と公差（公比）を決められる
- 等差中項・等比中項が使える
- 「初めて 100 を超える項」「和が最大になる n」など、不等式と組み合わせた問題が解ける
入試での位置づけ
数列は共通テスト『数学Ⅱ，数学B，数学C』の選択問題の柱で、等差・等比はその土台です。和の公式を「項数 × (初項 + 末項) ÷ 2」で理解しておくと、群数列や Σ（hb-02）にもそのまま使えます。「和が最大になる n」は微分を使わず「項が正のうちは足す」で解く定番。
1. 等差数列
まずここだけ
隣り合う項の差が一定（公差 d）の数列。初項 a。
一般項：aₙ = a + (n − 1)d
3, 7, 11, 15, …：a = 3、d = 4 → aₙ = 3 + 4(n − 1) = 4n − 1 a₁₀ = 39
2 項からの決定
「a₃ = 8、a₇ = 20」→ a + 2d = 8、a + 6d = 20 → 4d = 12 → d = 3、a = 2
(aₘ − aₙ) = (m − n)d を使えば速い：a₇ − a₃ = 4d = 12。
等差中項
a、b、c がこの順で等差数列 ⇔ 2b = a + c（b は a と c の平均）
2. 等差数列の和
まずここだけ
初項 a、末項 l、項数 n の和：
Sₙ = n(a + l)/2（項数 × (初項 + 末項) ÷ 2）
末項がわからないときは l = a + (n − 1)d を代入して
Sₙ = n{2a + (n − 1)d}/2
3 + 7 + 11 + … + 39（10 項）：10 × (3 + 39)/2 = 210 1 + 2 + … + n = n(n + 1)/2 初項 5、公差 −2 の数列の初項から第 n 項までの和：n{10 − 2(n − 1)}/2 = n(6 − n) = −n² + 6n
和が最大になる n（発展・頻出）
項が正である間は足すほど和が増える。aₙ ≧ 0 となる最大の n で和が最大。
aₙ = 50 − 3n：50 − 3n ≧ 0 → n ≦ 16.6… → n = 16 で最大、S₁₆ = 16 × (47 + 2)/2 = 392
（S_n = −(3/2)n² + (97/2)n の頂点で考えても同じ。二次関数の最大 h1-07。）
Sₙ から aₙ を求める
a₁ = S₁、aₙ = Sₙ − Sₙ₋₁（n ≧ 2）
Sₙ = n² + 2n → a₁ = 3、aₙ = (n² + 2n) − {(n − 1)² + 2(n − 1)} = 2n + 1（n = 1 でも 3 で一致）
3. 等比数列
まずここだけ
隣り合う項の比が一定（公比 r）の数列。初項 a。
一般項：aₙ = arⁿ⁻¹
2, 6, 18, 54, …：a = 2、r = 3 → aₙ = 2 · 3ⁿ⁻¹ 初項 3、公比 −2：aₙ = 3 · (−2)ⁿ⁻¹（符号が交互）
2 項からの決定
「a₂ = 6、a₅ = 48」→ ar = 6、ar⁴ = 48 → r³ = 8 → r = 2、a = 3
等比中項
a、b、c がこの順で等比数列 ⇔ b² = ac
4. 等比数列の和
まずここだけ
Sₙ = a(rⁿ − 1)/(r − 1) = a(1 − rⁿ)/(1 − r)（r ≠ 1） r = 1 のとき Sₙ = na
2 + 6 + 18 + … （6 項）：2(3⁶ − 1)/(3 − 1) = 3⁶ − 1 = 728 初項 1、公比 1/2、8 項：(1 − (1/2)⁸)/(1 − 1/2) = 2(1 − 1/256) = 255/128
導き方：Sₙ − rSₙ を計算すると途中が消える（(1 − r)Sₙ = a − arⁿ）。この「ずらして引く」は hb-02 の（等差）×（等比）の和でも使う。
指数との組み合わせ
「初めて 1000 を超える項」→ 2 · 3ⁿ⁻¹ > 1000 → 3ⁿ⁻¹ > 500 → 3⁵ = 243、3⁶ = 729 → n − 1 = 6 → n = 7。log を使えば log₁₀ 3ⁿ⁻¹ > log₁₀ 500（h2-10）。
5. 複利計算（発展）
もう一歩
年利 r で毎年初めに a 円積み立てる。n 年後の元利合計は a(1 + r) + a(1 + r)² + … + a(1 + r)ⁿ = a(1 + r){(1 + r)ⁿ − 1}/r（等比数列の和）。共通テストで文章題として出ることがある。
6. よくある間違い
- 一般項で (n − 1) を n にする（aₙ = a + nd ✗）
- 等差の和で「初項 + 末項」を「初項 + 公差」にする
- 等比の和の公式で r − 1 と 1 − r の符号をそろえない（分子・分母で同じ向きに）
- Sₙ − Sₙ₋₁ の公式を n = 1 にも使う（a₁ は S₁ で別に確認）
- 「和が最大」で aₙ = 0 となる項の扱い（0 は足しても変わらないので n、n − 1 のどちらでも最大）
7. 自己チェック
- 等差：aₙ = a + (n − 1)d、Sₙ = n(a + l)/2
- 等比：aₙ = arⁿ⁻¹、Sₙ = a(rⁿ − 1)/(r − 1)
- 2 項から a と d（r）を連立で
- 和の最大は「項が 0 以上の間」
- aₙ = Sₙ − Sₙ₋₁（n ≧ 2）、a₁ = S₁
8. 小テストへ
→ 小テスト（hb-01）
関連する単元
参考資料
- 文部科学省『高等学校学習指導要領（平成30年告示）解説 数学編 理数編』── 数学B「(1) 数列 ア(ア) 数列とその和（等差数列と等比数列）」
受験のしらべ ／ https://juken-shirabe.com/daigaku/math/hb-01/ ／ 更新 2026-09-12