和の記号 Σ・階差数列・いろいろな数列の和 ── 問題
基礎
- Σ_(k=1)^10 (k + 5) の値を求めなさい。
- Σ_(k=1)^n (3k − 2) を n の式で表しなさい。 （ア n(3n − 2) イ n(3n − 1) ウ n(3n + 1)/2 エ n(3n − 1)/2）
- 数列 1、5、11、19、29、… の一般項 aₙ を求めなさい（階差数列を考えなさい）。 （ア aₙ = 2n + 3 イ aₙ = n² + 3n + 1 ウ aₙ = n² + n − 1 エ aₙ = 2n² − 1）
- Σ_(k=1)^n 1/{k(k + 1)} を n の式で表しなさい。 （ア n/(n + 2) イ 1/(n + 1) ウ n/(n + 1) エ 1 + 1/(n + 1)）
- Σ_(k=1)^n k² の公式はどれですか。 （ア n(n + 1)(n + 2)/3 イ n(n + 1)/2 ウ n(n + 1)(2n + 1)/6 エ {n(n + 1)/2}²）
標準
- Σ_(k=4)^10 k² の値を求めなさい。
- 数列 0、2、8、26、80、… の一般項 aₙ を求めなさい（階差数列を考えなさい）。 （ア aₙ = 0 + 3^(n−1) イ aₙ = −1 + 3^n ウ aₙ = −1 + 3^(n−1) エ aₙ = −2 + 2·3^(n−1)）
- Σ_(k=1)^n 1/{k(k + 3)} を n の式で表しなさい。 （ア n/(n + 3) イ (1/3)(1 − 1/(n + 3)) ウ 11/6 − 1/(n + 1) − 1/(n + 2) − 1/(n + 3) エ (1/3)(11/6 − 1/(n + 1) − 1/(n + 2) − 1/(n + 3))）
- S = 1 + 2·2 + 3·2² + … + n·2ⁿ⁻¹ を求めたものはどれですか。 （ア (n − 1)2ⁿ + 1 イ n·2ⁿ − 1 ウ n·2ⁿ⁻¹ エ (n + 1)2ⁿ − 1）
- Σ_(k=1)^n 2ⁿ の値はどれですか（n は定数）。 （ア 2ⁿ⁺¹ − 2 イ 2ⁿ ウ n·2ⁿ エ 2ⁿ − 1）
- 缶を三角すいの形に積む。上から k 段目には 1 + 2 + … + k 個の缶を三角形に並べる。13 段積んだときの缶の総数を求めなさい。
- 数列 2, 5, 10, 17, 26, … の一般項を求めたい。 太郎：隣どうしの差をとると 3, 5, 7, 9, … と等差数列になるね。 花子：階差数列の和で一般項が出せるけど、n = 1 のときは別に確かめよう。 一般項はどれですか。 （ア aₙ = n² + 1 イ aₙ = (n + 1)² + 1 ウ aₙ = 3n − 1 エ aₙ = n² + 2n − 1）
- マッチ棒を使って、1 辺がマッチ棒 1 本の小さい正方形を縦に n 個、横に n 個並べた格子を作る。n = 10 のとき、使うマッチ棒の本数はどれですか。 （ア 121 本 イ 200 本 ウ 220 本 エ 240 本）
発展
- 1 | 2, 3 | 4, 5, 6 | 7, 8, 9, 10 | … と区切るとき、第 10 群の最初の数はどれですか。 （ア 46 イ 55 ウ 36 エ 45）
- 前の問題の群数列で、100 は第何群にありますか。 （ア 第 14 群 イ 第 10 群 ウ 第 15 群 エ 第 13 群）
- Σ_(k=1)^n (k + 1)(k + 2) を求めたものはどれですか。 （ア n(n + 1)(n + 2)/3 イ n(n + 3)(n + 4)/3 ウ (n + 1)(n + 2)(n + 3)/3 エ n(n² + 6n + 11)/3）
- 自然数の列を 1 | 2, 3 | 4, 5, 6 | 7, 8, 9, 10 | … のように、第 m 群に m 個の数が入るように区切る。第 25 群に入る数の和を求めなさい。
- Σ_(k=1)^n 1/(√k + √(k + 1)) を n の式で表したものはどれですか。 （ア √(n + 1) + 1 イ √n − 1 ウ √(n + 1) − 1 エ 1 − 1/√(n + 1)）
- S = 1·(1/2) + 2·(1/2)² + 3·(1/2)³ + … + n·(1/2)ⁿ を求めたい。 太郎：S − (1/2)S を計算すると、等比数列の和が出てくるね。 花子：最後の項がずれて残ることに注意しよう。 S を n の式で表したものはどれですか。 （ア 2 − n/2ⁿ⁻¹ イ 1 − (n + 2)/2ⁿ ウ 2 − (n + 1)/2ⁿ エ 2 − (n + 2)/2ⁿ）
和の記号 Σ・階差数列・いろいろな数列の和 ── 解答
基礎
- 105 Σ(k + 5) = Σk + Σ(5) = 1·55 + (50) = 105。
- エ n(3n − 1)/2 Σk = n(n + 1)/2、Σk² = n(n + 1)(2n + 1)/6 に分けて計算し、共通因数でくくる。n(3n − 1)/2
- ウ aₙ = n² + n − 1 階差数列は 4、6、8、10、…（bₖ = 2k + 2）。aₙ = a₁ + Σ_(k=1)^(n−1) bₖ = 1 + Σ(2k + 2)。整理して aₙ = n² + n − 1（n = 1 でも成り立つ）。
- ウ n/(n + 1) 1/{k(k + 1)} = 1/k − 1/(k + 1) と分けると、途中が消えて 1 − 1/(n + 1) = n/(n + 1)。
- ウ n(n + 1)(2n + 1)/6 Σk = n(n + 1)/2、Σk² = n(n + 1)(2n + 1)/6、Σk³ = {n(n + 1)/2}²。
標準
- 371 Σ_(k=1)^10 k² − Σ_(k=1)^3 k² = 385 − 14 = 371。
- ウ aₙ = −1 + 3^(n−1) 階差数列は 2、6、18、54、…（bₖ = 2·3^(k−1)、等比）。aₙ = 0 + Σ_(k=1)^(n−1) bₖ = 0 + 2(3^(n−1) − 1)/(3 − 1)。整理して aₙ = −1 + 3^(n−1)。
- エ (1/3)(11/6 − 1/(n + 1) − 1/(n + 2) − 1/(n + 3)) 1/{k(k + 3)} = (1/3){1/k − 1/(k + 3)}。分母の差の逆数 1/3 をかける。最初の 3 個と最後の 3 個が残る。(1/3)(11/6 − 1/(n + 1) − 1/(n + 2) − 1/(n + 3))
- ア (n − 1)2ⁿ + 1 S − 2S = (1 + 2 + … + 2ⁿ⁻¹) − n·2ⁿ = 2ⁿ − 1 − n·2ⁿ → S = (n − 1)2ⁿ + 1。
- ウ n·2ⁿ 2ⁿ は k を含まないので定数。n 個足して n·2ⁿ。
- 455 k 段目は k(k + 1)/2 個。Σ_(k=1)^13 k(k + 1)/2 = (1/2)(Σk² + Σk) = n(n + 1)(n + 2)/6 で、n = 13 を代入して 455。
- ア aₙ = n² + 1 階差数列 bₖ = 2k + 1。n ≧ 2 で aₙ = 2 + Σ_(k=1)^(n−1) (2k + 1) = 2 + (n − 1)n + (n − 1) = n² + 1。n = 1 でも a₁ = 2 で成り立つ。
- ウ 220 本 横向きの棒は n + 1 段に n 本ずつ、縦向きの棒も n + 1 列に n 本ずつなので、合計 2n(n + 1) 本。n = 10 で 220 本。
発展
- ア 46 第 9 群までの項数 9·10/2 = 45。次の 46 番目が第 10 群の最初。
- ア 第 14 群 第 13 群までで 91 個、第 14 群までで 105 個。91 < 100 ≦ 105。
- エ n(n² + 6n + 11)/3 Σ(k² + 3k + 2) = n(n + 1)(2n + 1)/6 + 3n(n + 1)/2 + 2n = n{(n + 1)(2n + 1) + 9(n + 1) + 12}/6 = n(2n² + 12n + 22)/6。
- 7825 第 24 群までに 1 + 2 + … + 24 = 300 個あるので、第 25 群は 301 から 325 までの 25 個。和は 25(301 + 325)/2 = 7825。
- ウ √(n + 1) − 1 分母を有理化すると 1/(√k + √(k + 1)) = √(k + 1) − √k。和をとると途中が打ち消しあい、√(n + 1) − √1 が残る。
- エ 2 − (n + 2)/2ⁿ S − (1/2)S = 1/2 + 1/4 + … + 1/2ⁿ − n/2ⁿ⁺¹ = 1 − 1/2ⁿ − n/2ⁿ⁺¹。2 倍して S = 2 − 2/2ⁿ − n/2ⁿ = 2 − (n + 2)/2ⁿ（n = 1 で 1/2、n = 2 で 1 と一致）。
受験のしらべ ／ https://juken-shirabe.com/daigaku/math/hb-02/test/ ／ 問題は毎回の表示で数が変わります。印刷したものはその一例です。
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