数学B ／ 数列 ／ hb-02
和の記号 Σ・階差数列・いろいろな数列の和
この単元でできるようになること
- Σ の意味と、Σk、Σk²、Σk³、Σc の公式が使える
- Σ の性質（定数倍・和は分けられる）で多項式の和が計算できる
- 階差数列から一般項 aₙ = a₁ + Σbₖ が求められる
- 部分分数分解で 1/{k(k + 1)} などの和が求められる
- （等差）×（等比）の和をずらして引く方法で求められる
- 群数列の考え方（第 n 群の最初の項が全体の何番目か）がわかる
入試での位置づけ
Σ の計算は共通テストの数列の大問で必ず使う道具です。「Σk(k + 1)」型の多項式の和、「階差数列から一般項」、「部分分数」「（等差）×（等比）」は毎年どれかが出ます。Σ の公式を正確に覚え、因数分解して整理する練習が中心。
1. Σ の意味と公式
まずここだけ
Σₖ₌₁ⁿ aₖ = a₁ + a₂ + … + aₙ（k を 1 から n まで動かして足す）
| 公式 | |
|---|---|
| Σₖ₌₁ⁿ c = nc（定数を n 個） | Σ 1 = n |
| Σₖ₌₁ⁿ k = n(n + 1)/2 | 1 + 2 + … + n |
| Σₖ₌₁ⁿ k² = n(n + 1)(2n + 1)/6 | |
| Σₖ₌₁ⁿ k³ = {n(n + 1)/2}² | (Σk)² と同じ形 |
| Σₖ₌₁ⁿ rᵏ⁻¹ = (rⁿ − 1)/(r − 1) | 等比数列の和 |
性質：Σ(aₖ + bₖ) = Σaₖ + Σbₖ、Σ c·aₖ = c Σaₖ（積 Σaₖbₖ は分けられない）
多項式の和
Σₖ₌₁ⁿ k(k + 1) = Σ(k² + k) = n(n + 1)(2n + 1)/6 + n(n + 1)/2 = n(n + 1){(2n + 1) + 3}/6 = n(n + 1)(2n + 4)/6 = n(n + 1)(n + 2)/3
共通因数 n(n + 1) でくくって整理するのがコツ。答えは因数分解した形で。
Σₖ₌₁ⁿ (2k − 1) = 2·n(n + 1)/2 − n = n²（奇数の和） Σₖ₌₁ⁿ (3k² − k + 2) = n(n + 1)(2n + 1)/2 − n(n + 1)/2 + 2n = n(n + 1)·2n/2 + 2n = n²(n + 1) + 2n = n(n² + n + 2)
添え字が 1 からでないとき
Σₖ₌₃ⁿ = Σₖ₌₁ⁿ − Σₖ₌₁²。または k = j + 2 とおきかえる。
n を含まない文字に注意
Σₖ₌₁ⁿ 2ⁿ = n · 2ⁿ（2ⁿ は k と無関係なので定数扱い）
2. 階差数列
まずここだけ
数列 {aₙ} の隣どうしの差 bₙ = aₙ₊₁ − aₙ を階差数列という。
aₙ = a₁ + Σₖ₌₁ⁿ⁻¹ bₖ（n ≧ 2）
（a₁ に、b₁ から bₙ₋₁ までを足すと aₙ になる。n − 1 個）
1, 3, 7, 13, 21, …：階差 2, 4, 6, 8, …（bₖ = 2k） aₙ = 1 + Σₖ₌₁ⁿ⁻¹ 2k = 1 + 2·(n − 1)n/2 = n² − n + 1（n = 1 でも 1 で成立）
2, 3, 5, 9, 17, …：階差 1, 2, 4, 8, …（bₖ = 2ᵏ⁻¹） aₙ = 2 + Σₖ₌₁ⁿ⁻¹ 2ᵏ⁻¹ = 2 + (2ⁿ⁻¹ − 1) = 2ⁿ⁻¹ + 1
手順：① 階差をとる ② 階差の一般項 bₖ ③ 公式に代入（上端 n − 1）④ n = 1 で成り立つか確認。
3. 部分分数分解の和
ここまでできれば十分
1/{k(k + 1)} = 1/k − 1/(k + 1) と分解すると、足したときに途中が消える。
Σₖ₌₁ⁿ 1/{k(k + 1)} = (1 − 1/2) + (1/2 − 1/3) + … + (1/n − 1/(n + 1)) = 1 − 1/(n + 1) = n/(n + 1)
1/{k(k + 2)} = (1/2){1/k − 1/(k + 2)}（差が 2 なら 1/2 をかける） Σₖ₌₁ⁿ = (1/2){1 + 1/2 − 1/(n + 1) − 1/(n + 2)}（最初の 2 つと最後の 2 つが残る）
分母の差の逆数をかけるのを忘れない。
4. （等差）×（等比）の和
ここまでできれば十分
S = 1·1 + 2·2 + 3·2² + … + n·2ⁿ⁻¹ のような和は、公比をかけてずらして引く。
S = 1 + 2·2 + 3·2² + … + n·2ⁿ⁻¹ 2S = 1·2 + 2·2² + … + (n − 1)·2ⁿ⁻¹ + n·2ⁿ 引く：S − 2S = 1 + 2 + 2² + … + 2ⁿ⁻¹ − n·2ⁿ = (2ⁿ − 1) − n·2ⁿ −S = (1 − n)2ⁿ − 1 → S = (n − 1)2ⁿ + 1
等比数列の和の公式の導き方と同じ（hb-01）。
5. 群数列
もう一歩
1 | 2, 3 | 4, 5, 6 | 7, 8, 9, 10 | … のように区切った数列。
第 n 群の最初の項が全体の何番目かを求める：第 (n − 1) 群までの項数の合計 + 1。
各群の項数 1, 2, 3, …：第 (n − 1) 群までの項数 = (n − 1)n/2 → 第 n 群の最初は (n − 1)n/2 + 1 番目 第 10 群の最初の数：9·10/2 + 1 = 46 100 は第何群か：(n − 1)n/2 < 100 ≦ n(n + 1)/2 → n = 14（13·14/2 = 91 < 100 ≦ 105）
手順：① 各群の項数の規則 ② 第 n 群の直前までの項数の和 ③ 目的の項の位置。
6. よくある間違い
- Σk² の公式で (2n + 1) を (n + 2) などにする
- Σ の中の n を k と混同する（n は定数）
- 階差数列の公式の上端を n にする（正しくは n − 1）
- 階差の公式は n ≧ 2 でしか使えないので、n = 1 の確認を忘れる
- 部分分数で分母の差の逆数（1/2 など）を忘れる
- 群数列で「第 n 群の最後」と「最初」を取りちがえる
7. 自己チェック
- Σk、Σk²、Σk³ の公式
- 多項式の和は共通因数でくくって因数分解
- 階差：aₙ = a₁ + Σₖ₌₁ⁿ⁻¹ bₖ、n = 1 を確認
- 部分分数：分母の差の逆数
- （等差）×（等比）はずらして引く
8. 小テストへ
→ 小テスト（hb-02）
関連する単元
参考資料
- 文部科学省『高等学校学習指導要領（平成30年告示）解説 数学編 理数編』── 数学B「(1) 数列 ア(ア) 数列とその和（いろいろな数列）」
受験のしらべ ／ https://juken-shirabe.com/daigaku/math/hb-02/ ／ 更新 2026-09-12