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小テスト ／ hc-01

平面ベクトル（演算・成分・内積）

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平面ベクトル（演算・成分・内積） ── 問題

基礎

  1. a = (5, −3)、b = (−3, −3) のとき、3a + 1b を成分で表しなさい。　（ア (2, −6)　イ (13, −12)　ウ (12, −12)　エ (18, −6)）
  2. 2 点 A(4, −2)、B(−1, 10) について、AB→ の成分と大きさ |AB→| を求めなさい。　（ア AB→ = (−5, 12)、|AB→| = 169　イ AB→ = (−5, 12)、|AB→| = 13　ウ AB→ = (3, 8)、|AB→| = 13　エ AB→ = (5, −12)、|AB→| = 13）
  3. a = (−1, 3)、b = (1, 5) のとき、内積 a·b を求めなさい。
  4. |a| = 2、|b| = 4、a と b のなす角が 45° のとき、内積 a·b を求めなさい。
  5. a = (1, 1)、b = (−1, 1) のなす角 θ を求めなさい。　（ア θ = 30°　イ θ = 45°　ウ θ = 90°　エ θ = 60°）
  6. a = (2, 1) に垂直なベクトルはどれですか。　（ア (1, 2)　イ (2, 1)　ウ (1, −2)　エ (−2, −1)）

標準

  1. a = (3, −4)、b = (−4, k) が垂直になるような k の値を求めなさい。
  2. |a| = 1、|b| = 2、a·b = −2 のとき、|a + b| と |a − b| を求めなさい。　（ア |a + b| = √3、|a − b| = √7　イ |a + b| = 1、|a − b| = 3　ウ |a + b| = 1、|a − b| = 9　エ |a + b| = 3、|a − b| = 1）
  3. OA→ = (2, 4)、OB→ = (0, 1) のとき、三角形 OAB の面積を求めなさい。
  4. |a| = 1、|b| = 2、|a + b| = √3 のとき、a·b の値はどれですか。　（ア 1　イ 0　ウ −1　エ −2）
  5. a = (3, 4) と同じ向きの単位ベクトルはどれですか。　（ア (1, 1)　イ (3, 4)　ウ (3/5, 4/5)　エ (4/5, 3/5)）

発展

  1. a = (1, 2)、b = (3, 1) のとき、p = (7, 4) を sa + tb の形で表すと (s, t) はどれですか。　（ア (1, 2)　イ (3, 1)　ウ (2, 1)　エ (−1, 3)）
  2. |a| = 2、|b| = 1、a·b = 1 のとき、|a + tb| が最小になる t の値はどれですか。　（ア t = 1　イ t = 0　ウ t = −1　エ t = −1/2）
  3. a = (1, √3)、b = (√3, 1) のなす角はどれですか。　（ア 30°　イ 45°　ウ 90°　エ 60°）

平面ベクトル（演算・成分・内積） ── 解答

基礎

  1. ウ　(12, −12)　成分ごとに計算：(3·(5) + 1·(−3), 3·(−3) + 1·(−3))。(12, −12)
  2. イ　AB→ = (−5, 12)、|AB→| = 13　AB→ = 終点 − 始点 = (−1 − (4), 10 − (−2))。大きさは √(成分の 2 乗の和)。AB→ = (−5, 12)、|AB→| = 13
  3. 14　a·b = a₁b₁ + a₂b₂ = (−1)(1) + (3)(5) = 14。
  4. 4√2　a·b = |a||b|cos θ = 2·4·cos 45° = 2·4·(√2/2) = 4√2。
  5. ウ　θ = 90°　a·b = 0、|a| = √2、|b| = √2。cos θ = 0/(√2·√2)。θ = 90°
  6. ウ　(1, −2)　内積 2·1 + 1·(−2) = 0。

標準

  1. −3　垂直 ⇔ 内積 0：(3)·(−4) + (−4)·k = 0 → k = −3。
  2. イ　|a + b| = 1、|a − b| = 3　|a + b|² = |a|² + 2a·b + |b|² = 1 + −4 + 4 = 1、|a − b|² = 1 − (−4) + 4 = 9。|a + b| = 1、|a − b| = 3
  3. 1　S = (1/2)|a₁b₂ − a₂b₁| = (1/2)|2| = 1。（(1/2)√(|a|²|b|² − (a·b)²) でも同じ）
  4. ウ　−1　3 = 1 + 2a·b + 4 → a·b = −1。
  5. ウ　(3/5, 4/5)　|a| = 5。a/|a|。

発展

  1. ア　(1, 2)　s + 3t = 7、2s + t = 4 → s = 1、t = 2。
  2. ウ　t = −1　|a + tb|² = 4 + 2t + t² = (t + 1)² + 3。t = −1 で最小。（このとき (a + tb)·b = 1 − 1 = 0 で垂直）
  3. ア　30°　a·b = 2√3、|a| = |b| = 2、cos θ = √3/2。

受験のしらべ ／ https://juken-shirabe.com/daigaku/math/hc-01/test/ ／ 問題は毎回の表示で数が変わります。印刷したものはその一例です。

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