平面ベクトル（演算・成分・内積） ── 問題
基礎
- a = (−1, 3)、b = (3, −4) のとき、2a − 2b を成分で表しなさい。 （ア (4, −2) イ (6, 0) ウ (−8, 14) エ (2, −1)）
- 2 点 A(3, −1)、B(7, 2) について、AB→ の成分と大きさ |AB→| を求めなさい。 （ア AB→ = (−4, −3)、|AB→| = 5 イ AB→ = (4, 3)、|AB→| = 5 ウ AB→ = (4, 3)、|AB→| = 25 エ AB→ = (10, 1)、|AB→| = 5）
- a = (3, −4)、b = (−4, 1) のとき、内積 a·b を求めなさい。
- |a| = 2、|b| = 4、a と b のなす角が 150° のとき、内積 a·b を求めなさい。
- a = (1, 0)、b = (1, 1) のなす角 θ を求めなさい。 （ア θ = 90° イ θ = 30° ウ θ = 135° エ θ = 45°）
- a = (2, 1) に垂直なベクトルはどれですか。 （ア (1, 2) イ (2, 1) ウ (1, −2) エ (−2, −1)）
標準
- a = (2, 3)、b = (4, k) が垂直になるような k の値を求めなさい。
- |a| = 5、|b| = 2、a·b = −4 のとき、|a + b| と |a − b| を求めなさい。 （ア |a + b| = 5、|a − b| = √33 イ |a + b| = √21、|a − b| = √37 ウ |a + b| = 7、|a − b| = 3 エ |a + b| = 21、|a − b| = 37）
- OA→ = (0, −4)、OB→ = (−2, 3) のとき、三角形 OAB の面積を求めなさい。
- |a| = 1、|b| = 2、|a + b| = √3 のとき、a·b の値はどれですか。 （ア 1 イ 0 ウ −1 エ −2）
- a = (3, 4) と同じ向きの単位ベクトルはどれですか。 （ア (1, 1) イ (3, 4) ウ (3/5, 4/5) エ (4/5, 3/5)）
- a = (0, −4)、b = (−3, 1) とする。t が実数全体を動くとき、|a + tb| が最小になる t の値を求めなさい。
- a、b は零ベクトルでなく、|a + b| = |a − b| を満たしている。 太郎：両辺を 2 乗して展開してみよう。 花子：|a|² と |b|² は両辺に同じように出てくるから消えるね。 このとき成り立つことはどれですか。 （ア a と b のなす角は 60° イ |a| = |b| である ウ a と b は垂直である エ a と b は平行である）
- 川の水は東向きに時速 3 km で流れている。静水なら時速 5 km で進む船が、川岸に垂直に（真北に）進むように船首の向きを調整した。岸から見た船の速さはどれですか。 （ア 時速 4 km イ 時速 8 km ウ 時速 √34 km エ 時速 2 km）
発展
- a = (1, 2)、b = (3, 1) のとき、p = (7, 4) を sa + tb の形で表すと (s, t) はどれですか。 （ア (1, 2) イ (3, 1) ウ (2, 1) エ (−1, 3)）
- |a| = 2、|b| = 1、a·b = 1 のとき、|a + tb| が最小になる t の値はどれですか。 （ア t = 1 イ t = 0 ウ t = −1 エ t = −1/2）
- a = (1, √3)、b = (√3, 1) のなす角はどれですか。 （ア 30° イ 45° ウ 90° エ 60°）
- 三角形 OAB で |OA→| = √2、|OB→| = 5、OA→·OB→ = 5 のとき、三角形 OAB の面積を求めなさい。
- |a| = 2、|b| = 3、|a + b| = √7 のとき、a と b のなす角 θ と |2a − b| の組み合わせはどれですか。 （ア θ = 60°、|2a − b| = √13 イ θ = 120°、|2a − b| = √13 ウ θ = 120°、|2a − b| = √37 エ θ = 150°、|2a − b| = √37）
- 点 P が原点 O を中心とする半径 1 の円の上を動く。A(2, 0)、B(0, 2) とするとき、PA→·PB→ の最大値を求めたい。 太郎：PA→ = a − p、PB→ = b − p と位置ベクトルで書こう。 花子：|p| = 1 と a·b = 0 を使うと、残るのは a + b と p の内積だけだね。 最大値はどれですか。 （ア 1 − 2√2 イ 2√2 ウ 1 + 2√2 エ 4）
平面ベクトル（演算・成分・内積） ── 解答
基礎
- ウ (−8, 14) 成分ごとに計算：(2·(−1) − 2·(3), 2·(3) − 2·(−4))。(−8, 14)
- イ AB→ = (4, 3)、|AB→| = 5 AB→ = 終点 − 始点 = (7 − (3), 2 − (−1))。大きさは √(成分の 2 乗の和)。AB→ = (4, 3)、|AB→| = 5
- −16 a·b = a₁b₁ + a₂b₂ = (3)(−4) + (−4)(1) = −16。
- −4√3 a·b = |a||b|cos θ = 2·4·cos 150° = 2·4·(−√3/2) = −4√3。
- エ θ = 45° a·b = 1、|a| = 1、|b| = √2。cos θ = 1/(1·√2)。θ = 45°
- ウ (1, −2) 内積 2·1 + 1·(−2) = 0。
標準
- −8/3 垂直 ⇔ 内積 0：(2)·(4) + (3)·k = 0 → k = −8/3。
- イ |a + b| = √21、|a − b| = √37 |a + b|² = |a|² + 2a·b + |b|² = 25 − 8 4 = 21、|a − b|² = 25 − (−8) + 4 = 37。|a + b| = √21、|a − b| = √37
- 4 S = (1/2)|a₁b₂ − a₂b₁| = (1/2)|−8| = 4。（(1/2)√(|a|²|b|² − (a·b)²) でも同じ）
- ウ −1 3 = 1 + 2a·b + 4 → a·b = −1。
- ウ (3/5, 4/5) |a| = 5。a/|a|。
- 2/5 |a + tb|² = |b|²t² + 2(a·b)t + |a|² = 10t² − 8t + 16 は t の 2 次関数。平方完成すると t = −(a·b)/|b|² = 2/5 で最小（このとき a + tb ⊥ b）。
- ウ a と b は垂直である |a + b|² = |a − b|² を展開すると |a|² + 2a·b + |b|² = |a|² − 2a·b + |b|²。よって a·b = 0 で、a と b は垂直（a、b を 2 辺とする平行四辺形の対角線が等しい＝長方形）。
- ア 時速 4 km 東を x、北を y の向きにとる。船が水に対して進む速度 v と流れ (3, 0) の和が (0, k) になればよいので v = (−3, k)。|v| = 5 より k = 4。岸から見た速さは時速 4 km。
発展
- ア (1, 2) s + 3t = 7、2s + t = 4 → s = 1、t = 2。
- ウ t = −1 |a + tb|² = 4 + 2t + t² = (t + 1)² + 3。t = −1 で最小。（このとき (a + tb)·b = 1 − 1 = 0 で垂直）
- ア 30° a·b = 2√3、|a| = |b| = 2、cos θ = √3/2。
- 5/2 面積 S = (1/2)√(|OA→|²|OB→|² − (OA→·OB→)²) = (1/2)√(2 × 25 − (5)²) = 5/2。
- ウ θ = 120°、|2a − b| = √37 |a + b|² = 4 + 2a·b + 9 = 7 より a·b = −3、cos θ = −3/(2·3) = −1/2 で θ = 120°。|2a − b|² = 4·4 − 4·(−3) + 9 = 37。
- ウ 1 + 2√2 PA→·PB→ = a·b − (a + b)·p + |p|² = 1 − (2, 2)·p。(2, 2)·p は p が (2, 2) と逆向きのとき最小 −2√2 なので、最大値は 1 + 2√2。
受験のしらべ ／ https://juken-shirabe.com/daigaku/math/hc-01/test/ ／ 問題は毎回の表示で数が変わります。印刷したものはその一例です。
📄 紙で解くなら プリント（レベルと問題数を選べます）。このページをそのまま印刷しても各レベル 10 問と解答が出ます。