数学C ／ ベクトル ／ hc-01
平面ベクトル ── 演算・成分・内積
この単元でできるようになること
- ベクトルの相等・加法・減法・実数倍を、図と成分の両方で扱える
- 成分表示 (a₁, a₂) で大きさ |a| = √(a₁² + a₂²) が求められる
- 平行条件 b = ka、単位ベクトル a/|a| が使える
- 内積 a·b = |a||b|cos θ = a₁b₁ + a₂b₂ で、なす角・垂直条件が扱える
- |a + b|² = |a|² + 2a·b + |b|² の展開ができる
- 内積を使って三角形の面積 (1/2)√(|a|²|b|² − (a·b)²) が求められる
入試での位置づけ
ベクトルは共通テスト『数学Ⅱ，数学B，数学C』の選択問題の 1 つで、内積の計算と、次の「位置ベクトル・内分」（hc-02）を組み合わせた図形問題が中心です。この単元では「成分で計算する」と「内積の定義で計算する」の両方を使い分けられるようにします。
1. ベクトルとは
まずここだけ
向きと大きさをもつ量。矢印で表し、平行移動して重なるものは同じベクトル（位置は問わない）。
- 記号：a、AB→（A から B へ）
- 大きさ |a|：矢印の長さ
- 逆ベクトル −a：向きが反対で大きさが同じ
- 零ベクトル 0：大きさ 0
加法・減法・実数倍
- a + b：a の終点に b の始点をつなぐ（三角形の法則）／平行四辺形の対角線
- a − b = a + (−b)：b の終点から a の終点へ（同じ始点からの差）
- ka：向きは同じ（k < 0 なら反対）、大きさ |k| 倍
AB→ + BC→ = AC→（つなぐと 1 本になる）、AB→ = OB→ − OA→（終点 − 始点）
平行条件
a ∥ b ⇔ b = ka となる実数 k がある（a、b ≠ 0）
2. 成分表示
まずここだけ
a = (a₁, a₂)（x 成分、y 成分）。
| 演算 | 成分 |
|---|---|
| a + b | (a₁ + b₁, a₂ + b₂) |
| a − b | (a₁ − b₁, a₂ − b₂) |
| ka | (ka₁, ka₂) |
| a | |
| AB→（A(x₁, y₁)、B(x₂, y₂)） | (x₂ − x₁, y₂ − y₁)（終点 − 始点） |
a = (3, −1)、b = (−2, 4)：a + b = (1, 3)、2a − b = (8, −6)、|a| = √10 A(1, 2)、B(4, 6)：AB→ = (3, 4)、|AB→| = 5
単位ベクトル
大きさ 1 のベクトル。a と同じ向きの単位ベクトルは a/|a|。
a = (3, 4) → (3/5, 4/5)
平行条件（成分）
a = (a₁, a₂) ∥ b = (b₁, b₂) ⇔ a₁b₂ − a₂b₁ = 0
ベクトルの分解
a、b が平行でないとき、任意の p は p = sa + tb とただ 1 通りに表せる（成分で連立）。
3. 内積
まずここだけ
a と b のなす角を θ（0° ≦ θ ≦ 180°）とすると、
a·b = |a||b| cos θ（定義） a·b = a₁b₁ + a₂b₂（成分）
|a| = 2、|b| = 3、θ = 60°：a·b = 2·3·(1/2) = 3 a = (1, 2)、b = (3, −1)：a·b = 3 − 2 = 1
内積は数（スカラー）。ベクトルではない。
なす角
cos θ = a·b / (|a||b|)
a = (1, √3)、b = (√3, 1)：a·b = 2√3、|a| = |b| = 2 → cos θ = 2√3/4 = √3/2 → θ = 30°
垂直条件
a ⊥ b ⇔ a·b = 0（a、b ≠ 0）⇔ a₁b₁ + a₂b₂ = 0
a = (2, 1) に垂直なベクトルの 1 つ：(1, −2)（成分を入れかえて片方の符号を変える） a = (3, 4) に垂直で大きさ 5 のベクトル：(4, −3)、(−4, 3)
4. 内積の性質と計算
ここまでできれば十分
- a·a = |a|²
- a·b = b·a
- (a + b)·c = a·c + b·c（分配法則）
- (ka)·b = k(a·b)
|a + b|² = |a|² + 2a·b + |b|²（(a + b)·(a + b) を展開） |a − b|² = |a|² − 2a·b + |b|²
|a| = 3、|b| = 2、a·b = 4 のとき |a + b|² = 9 + 8 + 4 = 21 → |a + b| = √21 |a| = 1、|b| = 2、|a + b| = √3 のとき a·b：3 = 1 + 2a·b + 4 → a·b = −1
|a + b| を求めるときは 2 乗して展開。
三角形の面積
OA→ = a、OB→ = b の三角形 OAB の面積： S = (1/2)√(|a|²|b|² − (a·b)²) 成分なら S = (1/2)|a₁b₂ − a₂b₁|（h2-04 と同じ）
a = (3, 1)、b = (1, 2)：S = (1/2)|6 − 1| = 5/2
5. 内積の応用（発展）
もう一歩
|a + tb| の最小値：2 乗して t の 2 次関数 → 平方完成。最小になる t で (a + tb) ⊥ b。
AB→·AC→ の図形的意味：|AB→| × （AC→ の AB→ 方向への正射影の長さ）。
なす角が鈍角 ⇔ 内積 < 0。
6. よくある間違い
- AB→ を「始点 − 終点」で計算する（正しくは終点 − 始点）
- |a + b| = |a| + |b| とする（× ）→ 2 乗して展開
- 内積をベクトルだと思って成分で書く
- 垂直条件と平行条件を混同（垂直：内積 0、平行：a₁b₂ − a₂b₁ = 0）
- cos θ の符号を見落として θ を鋭角にしてしまう
7. 自己チェック
- AB→ = 終点 − 始点
- |a| = √(a₁² + a₂²)
- 内積：定義 |a||b|cos θ と成分 a₁b₁ + a₂b₂
- 垂直 ⇔ 内積 0、平行 ⇔ b = ka
- |a + b| は 2 乗して展開
8. 小テストへ
→ 小テスト（hc-01）
関連する単元
参考資料
- 文部科学省『高等学校学習指導要領（平成30年告示）解説 数学編 理数編』── 数学C「(1) ベクトル ア(ア) 平面上のベクトル（ベクトルとその演算、）」
受験のしらべ ／ https://juken-shirabe.com/daigaku/math/hc-01/ ／ 更新 2026-09-12