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小テスト ／ hc-02

ベクトルと図形（位置ベクトル・内分・共線）

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ベクトルと図形（位置ベクトル・内分・共線） ── 問題

基礎

  1. 2 点 A(a)、B(b) について、線分 AB を 2 : 3 に内分する点 P の位置ベクトル p を a、b で表しなさい。　（ア p = (2a + 3b)/5　イ p = (3a − 2b)/5　ウ p = (3a + 2b)/5　エ p = (3a + 2b)/6）
  2. 3 点 A(1, 0)、B(2, 1)、C(0, −1) が一直線上にあるかどうかを、AB→ と AC→ を使って判定しなさい。　（ア |AB→| = |AC→| なので一直線上にある　イ AC→ = −AB→ となるので一直線上にある　ウ AC→ = kAB→ の形にならないので一直線上にない　エ AB→·AC→ = 0 なので一直線上にある）
  3. 三角形 ABC の頂点の位置ベクトルを a、b、c とする。辺 BC を 3 : 1 に内分する点を D とするとき、AD→ を a、b、c で表しなさい。　（ア AD→ = (b + 3c)/4　イ AD→ = (3b + c)/4 − a　ウ AD→ = (b + 3c)/4 − a　エ AD→ = a − (b + 3c)/4）
  4. 点 P が直線 AB 上にあるとき、OP→ = sOA→ + tOB→ の s、t が満たす条件はどれですか。　（ア s − t = 1　イ s = t　ウ s + t = 1　エ st = 1）
  5. 三角形 ABC の重心 G の位置ベクトルはどれですか（頂点の位置ベクトルを a、b、c とする）。　（ア a + b + c　イ (a + b)/2　ウ (a + b + c)/3　エ (a + b + c)/2）

標準

  1. 三角形 OAB で、OA を 1 : 1 に内分する点を M、OB を 2 : 1 に内分する点を N とし、AN と BM の交点を P とする。OP→ を a = OA→、b = OB→ で表しなさい。　（ア OP→ = (1/2)a + b　イ OP→ = (1/2)a + (1/4)b　ウ OP→ = (1/2)a + (2/3)b　エ OP→ = (1/4)a + (1/2)b）
  2. 三角形 OAB で OP→ = (1/2)a + (1/4)b（a = OA→、b = OB→）とする。直線 OP と辺 AB の交点を Q とするとき、OQ→ を a、b で表し、AQ : QB を求めなさい。　（ア OQ→ = (1/3)a + (2/3)b、AQ : QB = 2 : 1　イ OQ→ = a + (1/2)b、AQ : QB = 1 : 1　ウ OQ→ = (1/2)a + (1/4)b、AQ : QB = 1 : 1　エ OQ→ = (2/3)a + (1/3)b、AQ : QB = 1 : 2）
  3. 点 A(−3, −4) を通り、ベクトル d = (1, −1) に平行な直線の媒介変数表示を求めなさい。　（ア x = −3t + 1、y = −4t − 1　イ x = −t − 3、y = t − 4　ウ x = t − 3、y = −t − 4）
  4. 三角形 OAB で |OA→| = 3、|OB→| = 2、OA→·OB→ = 3。O から AB に下ろした垂線の足 H について OH→ = (1 − t)OA→ + tOB→ とおくとき、t の値はどれですか。　（ア 6/7　イ 1/7　ウ 3/7　エ 1/2）
  5. 直線 3x − 4y + 5 = 0 の法線ベクトルはどれですか。　（ア (−4, 3)　イ (4, 3)　ウ (3, 4)　エ (3, −4)）

発展

  1. 三角形 ABC の内部の点 P が PA→ + 2PB→ + 3PC→ = 0 を満たすとき、AP→ を AB→ = b、AC→ = c で表したものはどれですか。　（ア (2b + 3c)/6 … すなわち b/3 + c/2　イ (2b + 3c)/5　ウ (b/3) + (c/2)　エ (b + c)/3）
  2. 2 点 A(a)、B(b) を直径の両端とする円のベクトル方程式はどれですか。　（ア |p − a| + |p − b| = |a − b|　イ |p − a| = |p − b|　ウ (p − a)·(p − b) = 0　エ (p − a)·(p − b) = 1）
  3. OA→ = a、OB→ = b（1 次独立）に対し、点 P が OP→ = sa + tb、s ≧ 0、t ≧ 0、s + t ≦ 1 を満たすとき、P の存在範囲はどれですか。　（ア 線分 AB　イ 三角形 OAB の周および内部　ウ 平行四辺形 OACB の内部　エ 直線 AB）

ベクトルと図形（位置ベクトル・内分・共線） ── 解答

基礎

  1. ウ　p = (3a + 2b)/5　内分点：p = (n·a + m·b)/(m + n)。A に n = 3、B に m = 2 をかける。p = (3a + 2b)/5
  2. イ　AC→ = −AB→ となるので一直線上にある　AB→ = (1, 1)、AC→ = (−1, −1)。AC→ が AB→ の実数倍かどうかを見る。AC→ = −AB→ となるので一直線上にある
  3. ウ　AD→ = (b + 3c)/4 − a　D の位置ベクトル d = (b + 3c)/4。AD→ = d − a。AD→ = (b + 3c)/4 − a
  4. ウ　s + t = 1　AP→ = kAB→ より p = (1 − k)a + kb。係数の和が 1。s + t = 1
  5. ウ　(a + b + c)/3　3 点の平均。

標準

  1. エ　OP→ = (1/4)a + (1/2)b　OM→ = (1/2)a、ON→ = (2/3)b。P は AN 上：OP→ = (1 − s)a + s·(2/3)b。P は BM 上：OP→ = t·(1/2)a + (1 − t)b。a、b は 1 次独立なので係数比較して s、t を求める。OP→ = (1/4)a + (1/2)b
  2. エ　OQ→ = (2/3)a + (1/3)b、AQ : QB = 1 : 2　OQ→ = kOP→ = k(1/2a + 1/4b)。Q は AB 上なので係数の和が 1：k(1/2 + 1/4) = 1 → k = 4/3。OQ→ = (2/3)a + (1/3)b、AQ : QB = 1 : 2
  3. ウ　x = t − 3、y = −t − 4　p = a + td を成分で書く：(x, y) = (−3, −4) + t(1, −1)。x = t − 3、y = −t − 4
  4. ア　6/7　OH→·AB→ = 0：(1 − t)·3 + 4t − 9(1 − t) − 3t = 0 → 7t = 6。
  5. エ　(3, −4)　ax + by + c = 0 の法線ベクトルは (a, b)。

発展

  1. ウ　(b/3) + (c/2)　A を基準に：−p + 2(b − p) + 3(c − p) = 0 → 6p = 2b + 3c → p = b/3 + c/2。
  2. ウ　(p − a)·(p − b) = 0　直径に対する円周角は 90° なので AP ⊥ BP（P = A、B のときも成立）。
  3. イ　三角形 OAB の周および内部　s + t = 1 が直線 AB、s = 0 が OB、t = 0 が OA。囲まれた三角形。

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