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小テスト ／ hc-02

ベクトルと図形（位置ベクトル・内分・共線）

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ベクトルと図形（位置ベクトル・内分・共線） ── 問題

基礎

  1. 2 点 A(a)、B(b) について、線分 AB を 2 : 1 に内分する点 P の位置ベクトル p を a、b で表しなさい。　（ア p = (a − 2b)/3　イ p = (a + 2b)/3　ウ p = (a + 2b)/2　エ p = (2a + b)/3）
  2. 3 点 A(0, −2)、B(1, 0)、C(3, 4) が一直線上にあるかどうかを、AB→ と AC→ を使って判定しなさい。　（ア |AB→| = |AC→| なので一直線上にある　イ AB→·AC→ = 0 なので一直線上にある　ウ AC→ = 3AB→ となるので一直線上にある　エ AC→ = kAB→ の形にならないので一直線上にない）
  3. 三角形 ABC の頂点の位置ベクトルを a、b、c とする。辺 BC を 1 : 3 に内分する点を D とするとき、AD→ を a、b、c で表しなさい。　（ア AD→ = a − (3b + c)/4　イ AD→ = (3b + c)/4 − a　ウ AD→ = (b + 3c)/4 − a　エ AD→ = (3b + c)/4）
  4. 点 P が直線 AB 上にあるとき、OP→ = sOA→ + tOB→ の s、t が満たす条件はどれですか。　（ア s + t = 1　イ s − t = 1　ウ st = 1　エ s = t）
  5. 三角形 ABC の重心 G の位置ベクトルはどれですか（頂点の位置ベクトルを a、b、c とする）。　（ア a + b + c　イ (a + b)/2　ウ (a + b + c)/3　エ (a + b + c)/2）

標準

  1. 三角形 OAB で、OA を 1 : 1 に内分する点を M、OB を 1 : 1 に内分する点を N とし、AN と BM の交点を P とする。OP→ を a = OA→、b = OB→ で表しなさい。　（ア OP→ = (1/3)a + (1/3)b　イ OP→ = (2/3)a + (2/3)b　ウ OP→ = (1/2)a + (1/2)b）
  2. 三角形 OAB で OP→ = (1/3)a + (1/3)b（a = OA→、b = OB→）とする。直線 OP と辺 AB の交点を Q とするとき、OQ→ を a、b で表し、AQ : QB を求めなさい。　（ア OQ→ = (2/3)a + (2/3)b、AQ : QB = 1 : 1　イ OQ→ = (1/2)a + (1/2)b、AQ : QB = 1 : 1　ウ OQ→ = (1/3)a + (1/3)b、AQ : QB = 1 : 1）
  3. 点 A(3, −3) を通り、ベクトル d = (3, −1) に平行な直線の媒介変数表示を求めなさい。　（ア x = 3t + 3、y = −t − 3　イ x = −t + 3、y = 3t − 3　ウ x = 3t + 3、y = −3t − 1　エ x = −3t + 3、y = t − 3）
  4. 三角形 OAB で |OA→| = 3、|OB→| = 2、OA→·OB→ = 3。O から AB に下ろした垂線の足 H について OH→ = (1 − t)OA→ + tOB→ とおくとき、t の値はどれですか。　（ア 6/7　イ 1/7　ウ 3/7　エ 1/2）
  5. 直線 3x − 4y + 5 = 0 の法線ベクトルはどれですか。　（ア (−4, 3)　イ (4, 3)　ウ (3, 4)　エ (3, −4)）
  6. 三角形 ABC の内部の点 P が PA→ + 5PB→ + PC→ = 0（0 は零ベクトル）を満たす。三角形 PAB の面積は三角形 ABC の面積の何倍か求めなさい。
  7. 3 点 A(1, 2)、B(3, 5)、C(x, 11) が一直線上にあるような x を求めたい。 太郎：AC→ = kAB→ となる実数 k があればいいね。 花子：y 成分から k を先に決めよう。 x の値はどれですか。　（ア x = 9　イ x = 22/3　ウ x = 7　エ x = 6）
  8. 物体に 2 つの力 F₁ = (3, 1)、F₂ = (−1, 4)（単位 N）がはたらいている。3 つ目の力 F₃ を加えて 3 つの力をつりあわせたい。F₃ とその大きさの組み合わせはどれですか。　（ア (2, 5)、大きさ √29 N　イ (−4, 3)、大きさ 5 N　ウ (−2, −5)、大きさ 7 N　エ (−2, −5)、大きさ √29 N）

発展

  1. 三角形 ABC の内部の点 P が PA→ + 2PB→ + 3PC→ = 0 を満たすとき、AP→ を AB→ = b、AC→ = c で表したものはどれですか。　（ア b/2 + c/3　イ (2b + 3c)/5　ウ (b/3) + (c/2)　エ (b + c)/3）
  2. 2 点 A(a)、B(b) を直径の両端とする円のベクトル方程式はどれですか。　（ア |p − a| + |p − b| = |a − b|　イ |p − a| = |p − b|　ウ (p − a)·(p − b) = 0　エ (p − a)·(p − b) = 1）
  3. OA→ = a、OB→ = b（1 次独立）に対し、点 P が OP→ = sa + tb、s ≧ 0、t ≧ 0、s + t ≦ 1 を満たすとき、P の存在範囲はどれですか。　（ア 線分 AB　イ 三角形 OAB の周および内部　ウ 平行四辺形 OACB の内部　エ 直線 AB）
  4. 三角形 OAB で |OA→| = √2、|OB→| = √13、OA→·OB→ = −5 とする。O から直線 AB に下ろした垂線の足を H とし、OH→ = (1 − t)OA→ + tOB→ と表すとき、t の値を求めなさい。
  5. 平行四辺形 OACB で、辺 OA の中点を M とし、線分 BM と対角線 OC の交点を P とする。OP→ を OC→ で表したものと、BP : PM の組み合わせはどれですか。　（ア OP→ = (1/3)OC→、BP : PM = 1 : 2　イ OP→ = (2/3)OC→、BP : PM = 2 : 1　ウ OP→ = (1/2)OC→、BP : PM = 1 : 1　エ OP→ = (1/3)OC→、BP : PM = 2 : 1）
  6. 三角形 ABC で AB = 4、AC = 6 とし、外心を O とする。 太郎：外心 O から辺 AB に下ろした垂線の足は、AB の中点になるね。 花子：だから AO→·AB→ は、AO→ の AB 方向の成分 2 と AB = 4 の積で求められるよ。 AO→·AB→ と AO→·AC→ の組み合わせはどれですか。　（ア 16 と 36　イ 8 と 18　ウ 2 と 3　エ 4 と 6）

ベクトルと図形（位置ベクトル・内分・共線） ── 解答

基礎

  1. イ　p = (a + 2b)/3　内分点：p = (n·a + m·b)/(m + n)。A に n = 1、B に m = 2 をかける。p = (a + 2b)/3
  2. ウ　AC→ = 3AB→ となるので一直線上にある　AB→ = (1, 2)、AC→ = (3, 6)。AC→ が AB→ の実数倍かどうかを見る。AC→ = 3AB→ となるので一直線上にある
  3. イ　AD→ = (3b + c)/4 − a　D の位置ベクトル d = (3b + c)/4。AD→ = d − a。AD→ = (3b + c)/4 − a
  4. ア　s + t = 1　AP→ = kAB→ より p = (1 − k)a + kb。係数の和が 1。s + t = 1
  5. ウ　(a + b + c)/3　3 点の平均。

標準

  1. ア　OP→ = (1/3)a + (1/3)b　OM→ = (1/2)a、ON→ = (1/2)b。P は AN 上：OP→ = (1 − s)a + s·(1/2)b。P は BM 上：OP→ = t·(1/2)a + (1 − t)b。a、b は 1 次独立なので係数比較して s、t を求める。OP→ = (1/3)a + (1/3)b
  2. イ　OQ→ = (1/2)a + (1/2)b、AQ : QB = 1 : 1　OQ→ = kOP→ = k((1/3)a + (1/3)b)。Q は AB 上なので係数の和が 1：k(1/3 + 1/3) = 1 → k = 3/2。OQ→ = (1/2)a + (1/2)b、AQ : QB = 1 : 1
  3. ア　x = 3t + 3、y = −t − 3　p = a + td を成分で書く：(x, y) = (3, −3) + t(3, −1)。x = 3t + 3、y = −t − 3
  4. ア　6/7　OH→·AB→ = 0：(1 − t)·3 + 4t − 9(1 − t) − 3t = 0 → 7t = 6。
  5. エ　(3, −4)　ax + by + c = 0 の法線ベクトルは (a, b)。
  6. 1/7　AP→ = (5AB→ + AC→)/7 と変形できる。面積の比は係数の比になり、三角形 PBC : PCA : PAB = 1 : 5 : 1。三角形 PAB は全体の 1/7 倍。
  7. ウ　x = 7　AB→ = (2, 3)、AC→ = (x − 1, 9)。AC→ = kAB→ の y 成分から 9 = 3k、k = 3。x 成分から x − 1 = 6、x = 7。
  8. エ　(−2, −5)、大きさ √29 N　つりあいは F₁ + F₂ + F₃ = 0。F₃ = −(F₁ + F₂) = −(2, 5) = (−2, −5)。大きさは √(4 + 25) = √29 N。

発展

  1. ウ　(b/3) + (c/2)　A を基準に：−p + 2(b − p) + 3(c − p) = 0 → 6p = 2b + 3c → p = b/3 + c/2。
  2. ウ　(p − a)·(p − b) = 0　直径に対する円周角は 90° なので AP ⊥ BP（P = A、B のときも成立）。
  3. イ　三角形 OAB の周および内部　s + t = 1 が直線 AB、s = 0 が OB、t = 0 が OA。囲まれた三角形。
  4. 7/25　OH→·AB→ = 0 より ((1 − t)a + tb)·(b − a) = 0（a = OA→、b = OB→）。展開すると (a·b − |a|²) + t(|a|² − 2a·b + |b|²) = 0。(−5 − 2) + t(2 − 2 × (−5) + 13) = 0 より t = 7/25。
  5. エ　OP→ = (1/3)OC→、BP : PM = 2 : 1　a = OA→、b = OB→ とすると OC→ = a + b。P は OC 上なので OP→ = k(a + b)、BM 上なので OP→ = (1 − s)b + (s/2)a。係数を比べて k = s/2、k = 1 − s より s = 2/3、k = 1/3。BP : PM = s : (1 − s) = 2 : 1。
  6. イ　8 と 18　OA = OB なので O から AB に下ろした垂線の足 M は AB の中点。AO→·AB→ = AM × AB = 2 × 4 = 8。同様に AO→·AC→ = 3 × 6 = 18（AO→·AB→ = |AB→|²/2 の形）。

受験のしらべ ／ https://juken-shirabe.com/daigaku/math/hc-02/test/ ／ 問題は毎回の表示で数が変わります。印刷したものはその一例です。

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