高校数学英語理科社会国語中学数学英語理科社会国語

小テスト ／ hc-03

空間ベクトル

← 解説に戻る　高校数学の単元一覧

レベルを選ぶ（最大10問。数を変えた問題が毎回出ます）

空間ベクトル ── 問題

基礎

  1. 2 点 A(3, 1, 3)、B(5, 4, 9) について、AB→ の成分と |AB→| を求めなさい。　（ア AB→ = (2, 3, 6)、|AB→| = √13　イ AB→ = (2, 3, 6)、|AB→| = 49　ウ AB→ = (2, 3, 6)、|AB→| = 7　エ AB→ = (−2, −3, −6)、|AB→| = 7）
  2. a = (4, 3, 4)、b = (4, 1, −1) のとき、内積 a·b を求めなさい。
  3. a = (1, 0, 1)、b = (−1, 0, −1) のなす角 θ を求めなさい。　（ア θ = 180°　イ θ = 0°　ウ θ = 90°　エ θ = 30°）
  4. 中心が (−1, −3, −2)、半径が 2 の球面の方程式を求めなさい。　（ア (x + 1)² + (y + 3)² + (z + 2)² = 2　イ (x + 1)² + (y + 3)² = 4　ウ (x − 1)² + (y − 3)² + (z − 2)² = 4　エ (x + 1)² + (y + 3)² + (z + 2)² = 4）
  5. 点 P が 3 点 A、B、C の定める平面上にあるとき、OP→ = sOA→ + tOB→ + uOC→ の s、t、u が満たす条件はどれですか。　（ア stu = 1　イ s = t = u　ウ s + t + u = 0　エ s + t + u = 1）

標準

  1. a = (2, −4, 4)、b = (−1, −3, k) が垂直になるような k の値を求めなさい。
  2. 3 点 A(2, 0, 0)、B(0, 1, 0)、C(0, 0, 3) を通る平面に垂直なベクトル（法線ベクトル）の 1 つを求めなさい。　（ア (2, 1, 3)　イ (2, 3, 6)　ウ (−3, 6, 2)　エ (3, 6, 2)）
  3. 球面 x² + 2x + y² + 4y + z² + 6z − 11 = 0 の中心と半径を求めなさい。　（ア 中心 (−1, −2, −3)、半径 5　イ 中心 (−1, −2, −3)、半径 25　ウ 中心 (1, 2, 3)、半径 5　エ 中心 (−2, −4, −6)、半径 5）
  4. 1 辺 2 の正四面体 OABC で、OA→ = a、OB→ = b、OC→ = c とするとき、a·b の値と |a + b + c|² の組み合わせはどれですか。　（ア a·b = 0、|a + b + c|² = 12　イ a·b = 2、|a + b + c|² = 12　ウ a·b = 2、|a + b + c|² = 24　エ a·b = 4、|a + b + c|² = 36）
  5. 点 (2, −3, 5) を xy 平面に関して対称移動した点はどれですか。　（ア (2, 3, 5)　イ (−2, 3, 5)　ウ (−2, −3, 5)　エ (2, −3, −5)）

発展

  1. 四面体 OABC で、OA の中点 M、OB を 2 : 1 に内分する点 N、OC を 1 : 2 に内分する点 L。三角形 ABC の重心 G について、直線 OG と平面 MNL の交点 P は OP→ = k(a + b + c)/3 と書ける。k の値はどれですか。　（ア 1/2　イ 6/13　ウ 3/7　エ 13/6）
  2. 原点 O から平面 ABC に下ろした垂線の足 H を求めるとき、立てる条件として正しい組み合わせはどれですか。　（ア H が平面上（係数の和 1）と、OH→·AB→ = 0、OH→·AC→ = 0　イ |OH→| = |OA→|　ウ H が平面上（係数の和 1）と、OH→·OA→ = 0　エ OH→·AB→ = 0 のみ）
  3. 球面 x² + y² + z² − 2x + 4y − 4 = 0 と xy 平面の交わりはどれですか。　（ア 交わらない　イ 中心 (−1, 2, 0)、半径 3 の円　ウ 中心 (1, −2, 0)、半径 3 の円　エ 中心 (1, −2, 0)、半径 √5 の円）

空間ベクトル ── 解答

基礎

  1. ウ　AB→ = (2, 3, 6)、|AB→| = 7　AB→ = 終点 − 始点。|AB→| = √(成分の 2 乗の和)。AB→ = (2, 3, 6)、|AB→| = 7
  2. 15　a·b = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃ = (4)(4) + (3)(1) + (4)(−1) = 15。
  3. ア　θ = 180°　a·b = −2、|a| = √2、|b| = √2。cos θ = −2/(√2·√2)。θ = 180°
  4. エ　(x + 1)² + (y + 3)² + (z + 2)² = 4　(x − a)² + (y − b)² + (z − c)² = r²。r² = 4。(x + 1)² + (y + 3)² + (z + 2)² = 4
  5. エ　s + t + u = 1　AP→ = mAB→ + nAC→ と書けることから係数の和が 1。

標準

  1. −5/2　内積 = 0：(2)(−1) + (−4)(−3) + (4)k = 0 → 10 + (4)k = 0 → k = −5/2。
  2. エ　(3, 6, 2)　AB→ = (−2, 1, 0)、AC→ = (−2, 0, 3)。n = (p, q, r) との内積が 0：−2p + 1q = 0、−2p + 3r = 0。整数の組を選んで (3, 6, 2)（平面 x/2 + y/1 + z/3 = 1 の係数と同じ向き）。
  3. ア　中心 (−1, −2, −3)、半径 5　x、y、z それぞれ平方完成：(x + 1)² + (y + 2)² + (z + 3)² = 25。中心 (−1, −2, −3)、半径 5
  4. ウ　a·b = 2、|a + b + c|² = 24　a·b = 2·2·cos 60° = 2。|a + b + c|² = 4 + 4 + 4 + 2(2 + 2 + 2) = 24。
  5. エ　(2, −3, −5)　xy 平面に関する対称は z の符号だけ変わる。

発展

  1. イ　6/13　a = 2OM→、b = (3/2)ON→、c = 3OL→。係数の和 2k/3 + k/2 + k = 1 → 13k/6 = 1。
  2. ア　H が平面上（係数の和 1）と、OH→·AB→ = 0、OH→·AC→ = 0　平面上の条件 1 つと、平面内の独立な 2 方向との垂直条件 2 つ。
  3. ウ　中心 (1, −2, 0)、半径 3 の円　(x − 1)² + (y + 2)² + z² = 9。z = 0 を代入。

受験のしらべ ／ https://juken-shirabe.com/daigaku/math/hc-03/test/ ／ 問題は毎回の表示で数が変わります。印刷したものはその一例です。

📄 このページを印刷すると、各レベル10問ずつの問題（解答は最後のページ）が出ます。ブラウザの「印刷」から。