数学C ／ ベクトル ／ hc-03
空間ベクトル
この単元でできるようになること
- 空間の点の座標と、3 成分のベクトルの演算・大きさ・内積が扱える
- 空間でも「内分点」「共線条件」「垂直条件」が平面と同じ式で使えることがわかる
- 「点 P が平面 ABC 上 ⇔ OP→ = sOA→ + tOB→ + uOC→、s + t + u = 1」（共面条件）が使える
- 平面に垂直なベクトル（法線ベクトル）を、2 つのベクトルとの内積 0 から求められる
- 球面の方程式 (x − a)² + (y − b)² + (z − c)² = r² が書ける
入試での位置づけ
空間ベクトルは共通テストで平面ベクトルと交互に、または合わせて出題されます。計算は平面と同じで成分が 1 つ増えるだけ。「平面上の点 ⇔ 係数の和が 1」「垂線の足 ⇔ 内積 0 が 2 本」の 2 つの型を押さえれば、直方体・四面体の問題が解けます。
1. 空間の座標とベクトル
まずここだけ
点 P(x, y, z)。原点 O からの距離 OP = √(x² + y² + z²)。 2 点間の距離 AB = √{(x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)² + (z₂ − z₁)²}。
a = (a₁, a₂, a₃)：平面と同じく成分ごとに加減・実数倍。 |a| = √(a₁² + a₂² + a₃²) 内積 a·b = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃ = |a||b|cos θ
a = (1, 2, 2)：|a| = 3。b = (2, −1, 2)：a·b = 2 − 2 + 4 = 4、|b| = 3 → cos θ = 4/9
平面と同じ公式
- 内分点 (na + mb)/(m + n)、重心 (a + b + c)/3
- 共線：AC→ = kAB→
- 垂直：a·b = 0
- |a + b|² = |a|² + 2a·b + |b|²
座標軸・座標平面
x 軸上の点は (x, 0, 0)、xy 平面上の点は (x, y, 0)。xy 平面に関して対称な点は z の符号を変える。
2. 直方体・四面体での基本ベクトル
まずここだけ
空間では 3 つの 1 次独立なベクトル a、b、c（同一平面上にない）で任意のベクトルが p = sa + tb + uc とただ 1 通りに表せる。
直方体 OADB-CEGF（OA→ = a、OB→ = b、OC→ = c）：OG→ = a + b + c、AF→ = −a + b + c、対角線の長さ |a + b + c|
正四面体 OABC（1 辺 2）：a·b = b·c = c·a = 2·2·cos 60° = 2。|a + b + c|² = 4 + 4 + 4 + 2(2 + 2 + 2) = 24
正四面体では、辺のベクトルどうしの内積がすべて |a|²/2。
3. 共面条件（点が平面上にある）
ここまでできれば十分
点 P が 3 点 A、B、C の定める平面上 ⇔ OP→ = sOA→ + tOB→ + uOC→、s + t + u = 1
（AP→ = mAB→ + nAC→ と書ける ⇔ p = (1 − m − n)a + mb + nc、係数の和 1）
四面体 OABC で、OA の中点 M、OB を 2 : 1 に内分する点 N、OC を 1 : 2 に内分する点 L。直線 OG（G は三角形 ABC の重心）と平面 MNL の交点 P OP→ = kOG→ = (k/3)(a + b + c) P は平面 MNL 上：a = 2OM→、b = (3/2)ON→、c = 3OL→ より OP→ = (2k/3)OM→ + (k/2)ON→ + kOL→ 係数の和 = 1：2k/3 + k/2 + k = 1 → (4k + 3k + 6k)/6 = 1 → k = 6/13 → OP→ = (2/13)(a + b + c)
手順：① 求める点を 2 通りで表す（直線上は kOG→、平面上は係数の和 1）② 平面を定める 3 点のベクトルで書き直す ③ 係数の和 = 1。
4. 垂線の足・法線ベクトル
ここまでできれば十分
点 O から平面 ABC に下ろした垂線の足 H：
- H は平面上：OH→ = sa + tb + uc、s + t + u = 1（または AH→ = mAB→ + nAC→）
- OH ⊥ AB かつ OH ⊥ AC：OH→·AB→ = 0、OH→·AC→ = 0
- 連立して s、t、u
平面の法線ベクトル n：n·AB→ = 0、n·AC→ = 0 を満たす n（成分で 2 本の式を解く。1 つの成分を 1 とおく）。
A(1, 0, 0)、B(0, 2, 0)、C(0, 0, 3) の平面の法線：AB→ = (−1, 2, 0)、AC→ = (−1, 0, 3)。n = (x, y, z)：−x + 2y = 0、−x + 3z = 0 → x = 6 とおくと y = 3、z = 2 → n = (6, 3, 2)
点と平面の距離（発展）
平面 ax + by + cz + d = 0 と点 (x₀, y₀, z₀) の距離 = |ax₀ + by₀ + cz₀ + d|/√(a² + b² + c²)（h2-04 の 3 次元版）。
5. 球面の方程式
ここまでできれば十分
中心 (a, b, c)、半径 r：(x − a)² + (y − b)² + (z − c)² = r²
中心 (1, −2, 3)、半径 2：(x − 1)² + (y + 2)² + (z − 3)² = 4 球面 x² + y² + z² − 2x + 4y − 4 = 0 → (x − 1)² + (y + 2)² + z² = 9 → 中心 (1, −2, 0)、半径 3 xy 平面（z = 0）との交わり：z = 0 を代入 → (x − 1)² + (y + 2)² = 9 の円
6. 体積（発展）
もう一歩
四面体 OABC の体積 = (1/3) × △OAB × 高さ。高さは C から平面 OAB への距離 = |OC→| sin（OC と平面のなす角）。 成分では V = (1/6)|a·(b × c)|（外積は数学C の範囲外だが、行列式の形で覚えておくと検算に便利）。
7. よくある間違い
- 3 成分の内積で 2 成分だけ足す
- 共面条件の係数の和を 2 つ（s + t = 1）で止める → 3 つの和が 1
- 垂線の足で内積 0 を 1 本しか立てない → 2 本
- 球面の半径を r² のままにする
- 「xy 平面に関して対称」で x、y を変える → z の符号を変える
8. 自己チェック
- 3 成分で |a|、内積を計算したか
- 平面上 ⇔ s + t + u = 1
- 垂線の足 ⇔ 内積 0 が 2 本
- 法線ベクトルは 2 本の内積 0 から
- 球面は (x − a)² + (y − b)² + (z − c)² = r²
9. 小テストへ
→ 小テスト（hc-03）
関連する単元
参考資料
- 文部科学省『高等学校学習指導要領（平成30年告示）解説 数学編 理数編』── 数学C「(1) ベクトル ア(イ) 空間座標とベクトル」
受験のしらべ ／ https://juken-shirabe.com/daigaku/math/hc-03/ ／ 更新 2026-09-12