高校数学英語理科社会国語中学数学英語理科社会国語

小テスト ／ hc-03

空間ベクトル

← 解説に戻る　高校数学の単元一覧

レベルを選ぶ（最大10問。数を変えた問題が毎回出ます）

パソコンなら 1〜5 キーで選択、Enter で次へ

空間ベクトル ── 問題

基礎

  1. 2 点 A(3, 1, 3)、B(5, 4, 9) について、AB→ の成分と |AB→| を求めなさい。　（ア AB→ = (2, 3, 6)、|AB→| = √13　イ AB→ = (2, 3, 6)、|AB→| = 49　ウ AB→ = (2, 3, 6)、|AB→| = 7　エ AB→ = (−2, −3, −6)、|AB→| = 7）
  2. a = (4, 3, 4)、b = (4, 1, −1) のとき、内積 a·b を求めなさい。
  3. a = (1, 1, 0)、b = (1, 0, −1) のなす角 θ を求めなさい。　（ア θ = 90°　イ θ = 30°　ウ θ = 120°　エ θ = 60°）
  4. 中心が (3, 2, −1)、半径が 1 の球面の方程式を求めなさい。　（ア (x − 3)² + (y − 2)² = 1　イ (x + 3)² + (y + 2)² + (z − 1)² = 1　ウ (x − 3)² + (y − 2)² + (z + 1)² = 1）
  5. 点 P が 3 点 A、B、C の定める平面上にあるとき、OP→ = sOA→ + tOB→ + uOC→ の s、t、u が満たす条件はどれですか。　（ア stu = 1　イ s = t = u　ウ s + t + u = 0　エ s + t + u = 1）

標準

  1. a = (2, 4, −1)、b = (−2, 4, k) が垂直になるような k の値を求めなさい。
  2. 3 点 A(3, 0, 0)、B(0, 1, 0)、C(0, 0, 1) を通る平面に垂直なベクトル（法線ベクトル）の 1 つを求めなさい。　（ア (1, 3, −3)　イ (3, 1, 3)　ウ (−1, 3, 3)　エ (1, 3, 3)）
  3. 球面 x² + y² + z² − 6y − 4z − 12 = 0 の中心と半径を求めなさい。　（ア 中心 (0, 3, 2)、半径 25　イ 中心 (0, −3, −2)、半径 5　ウ 中心 (0, 3, 2)、半径 5　エ 中心 (0, 6, 4)、半径 5）
  4. 1 辺 2 の正四面体 OABC で、OA→ = a、OB→ = b、OC→ = c とするとき、a·b の値と |a + b + c|² の組み合わせはどれですか。　（ア a·b = 0、|a + b + c|² = 12　イ a·b = 2、|a + b + c|² = 12　ウ a·b = 2、|a + b + c|² = 24　エ a·b = 4、|a + b + c|² = 36）
  5. 点 (2, −3, 5) を xy 平面に関して対称移動した点はどれですか。　（ア (2, 3, 5)　イ (−2, 3, 5)　ウ (−2, −3, 5)　エ (2, −3, −5)）
  6. 図の直方体は、3 つの辺が座標軸上にあり、A(1, 0, 0)、B(0, 4, 0)、C(0, 0, 8) です。対角線 OG の長さを求めなさい。
  7. O(0, 0, 0)、A(4, 1, 0)、B(3, 3, 0)、C(0, 2, 5) を頂点とする四面体 OABC の体積を求めなさい。
  8. 1 辺の長さ 1 の立方体 ABCD−EFGH で、対角線 AG と面の対角線 AC のなす角を θ とする。 太郎：A を原点にして、AB、AD、AE をそれぞれ x、y、z 軸の向きにとれば成分で計算できるね。 花子：AG→ = (1, 1, 1)、AC→ = (1, 1, 0) だよ。 cos θ の値はどれですか。　（ア √6/3　イ √2/2　ウ 2/3　エ √3/3）
  9. 部屋の床を xy 平面、上向きを z 軸の正の向きにとる（単位 m）。点 L(2, 2, 3) に小さな電球があり、点 P(1, 1, 1) に小さな球がある。床にできる球の影の位置はどれですか。　（ア (1, 1, 0)　イ (1/3, 1/3, 0)　ウ (1/2, 1/2, 0)　エ (0, 0, 0)）

発展

  1. 四面体 OABC で、OA の中点 M、OB を 2 : 1 に内分する点 N、OC を 1 : 2 に内分する点 L。三角形 ABC の重心 G について、直線 OG と平面 MNL の交点 P は OP→ = k(a + b + c)/3 と書ける。k の値はどれですか。　（ア 1/2　イ 6/13　ウ 3/7　エ 13/6）
  2. 原点 O から平面 ABC に下ろした垂線の足 H を求めるとき、立てる条件として正しい組み合わせはどれですか。　（ア H が平面上（係数の和 1）と、OH→·AB→ = 0、OH→·AC→ = 0　イ H が平面上（係数の和 1）と、|OH→| = |OA→|　ウ H が平面上（係数の和 1）と、OH→·OA→ = 0　エ OH→·AB→ = 0、OH→·AC→ = 0 の 2 つだけ（平面上の条件なし））
  3. 球面 x² + y² + z² − 2x + 4y − 4 = 0 と xy 平面の交わりはどれですか。　（ア 交わらない　イ 中心 (−1, 2, 0)、半径 3 の円　ウ 中心 (1, −2, 0)、半径 3 の円　エ 中心 (1, −2, 0)、半径 √5 の円）
  4. 4 点 A(−1, 0, 2)、B(−3, 1, 5)、C(−3, −1, 3)、D(−1, 4, k) が同じ平面上にあるとき、k の値を求めなさい。
  5. 四面体 OABC で a = OA→、b = OB→、c = OC→ とする。辺 AB の中点を M、辺 OC を 1 : 2 に内分する点を N、線分 MN の中点を P とする。直線 OP と平面 ABC の交点を Q とするとき、OQ→ はどれですか。　（ア (1/3)a + (1/3)b + (1/3)c　イ (1/4)a + (1/4)b + (1/6)c　ウ (3/8)a + (3/8)b + (1/4)c　エ (3/8)a + (3/8)b + (1/2)c）
  6. 1 辺の長さ 1 の正四面体 OABC で、a = OA→、b = OB→、c = OC→ とする。辺 OA と辺 BC のなす角を調べたい。 太郎：OA→·BC→ = a·(c − b) = a·c − a·b だね。 花子：正四面体なら、a·b と a·c はどちらも 1 × 1 × cos 60° だよ。 OA と BC のなす角はどれですか。　（ア 60°　イ 90°　ウ 45°　エ 120°）

空間ベクトル ── 解答

基礎

  1. ウ　AB→ = (2, 3, 6)、|AB→| = 7　AB→ = 終点 − 始点。|AB→| = √(成分の 2 乗の和)。AB→ = (2, 3, 6)、|AB→| = 7
  2. 15　a·b = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃ = (4)(4) + (3)(1) + (4)(−1) = 15。
  3. エ　θ = 60°　a·b = 1、|a| = √2、|b| = √2。cos θ = 1/(√2·√2)。θ = 60°
  4. ウ　(x − 3)² + (y − 2)² + (z + 1)² = 1　(x − a)² + (y − b)² + (z − c)² = r²。r² = 1。(x − 3)² + (y − 2)² + (z + 1)² = 1
  5. エ　s + t + u = 1　AP→ = mAB→ + nAC→ と書けることから係数の和が 1。

標準

  1. 12　内積 = 0：(2)(−2) + (4)(4) + (−1)k = 0 → 12 + (−1)k = 0 → k = 12。
  2. エ　(1, 3, 3)　AB→ = (−3, 1, 0)、AC→ = (−3, 0, 1)。n = (p, q, r) との内積が 0：−3p + q = 0、−3p + r = 0。整数の組を選んで (1, 3, 3)（平面 x/3 + y/1 + z/1 = 1 の係数と同じ向き）。
  3. ウ　中心 (0, 3, 2)、半径 5　x、y、z それぞれ平方完成：x² + (y − 3)² + (z − 2)² = 25。中心 (0, 3, 2)、半径 5
  4. ウ　a·b = 2、|a + b + c|² = 24　a·b = 2·2·cos 60° = 2。|a + b + c|² = 4 + 4 + 4 + 2(2 + 2 + 2) = 24。
  5. エ　(2, −3, −5)　xy 平面に関する対称は z の符号だけ変わる。
  6. 9　G(1, 4, 8) なので OG→ = (1, 4, 8)。|OG→| = √(1² + 4² + 8²) = √81 = 9。
  7. 15/2　底面 OAB は xy 平面上にあり、面積は (1/2)|4 × 3 − (1) × (3)| = 9/2。高さは C の z 座標 5。体積は (1/3) × 9/2 × 5 = 15/2。
  8. ア　√6/3　AG→·AC→ = 2、|AG→| = √3、|AC→| = √2。cos θ = 2/(√3·√2) = 2/√6 = √6/3。
  9. ウ　(1/2, 1/2, 0)　影は直線 LP と床（z = 0）の交点。LP 上の点は (2, 2, 3) + u(−1, −1, −2) と表せ、z = 3 − 2u = 0 より u = 3/2。座標は (1/2, 1/2, 0)。

発展

  1. イ　6/13　a = 2OM→、b = (3/2)ON→、c = 3OL→。係数の和 2k/3 + k/2 + k = 1 → 13k/6 = 1。
  2. ア　H が平面上（係数の和 1）と、OH→·AB→ = 0、OH→·AC→ = 0　平面上の条件 1 つと、平面内の独立な 2 方向との垂直条件 2 つ。
  3. ウ　中心 (1, −2, 0)、半径 3 の円　(x − 1)² + (y + 2)² + z² = 9。z = 0 を代入。
  4. 6　AD→ = sAB→ + tAC→ とおく。AB→ = (−2, 1, 3)、AC→ = (−2, −1, 1)、AD→ = (0, 4, k − (2))。x、y 成分の 2 式から s = 2、t = −2。z 成分から k = 6。
  5. ウ　(3/8)a + (3/8)b + (1/4)c　OM→ = (a + b)/2、ON→ = c/3 より OP→ = a/4 + b/4 + c/6。Q は OP 上で OQ→ = kOP→、平面 ABC 上なので係数の和が 1：k(1/4 + 1/4 + 1/6) = 1、k = 3/2。OQ→ = (3/8)a + (3/8)b + (1/4)c。
  6. イ　90°　a·b = a·c = 1/2 なので OA→·BC→ = a·c − a·b = 0。OA と BC は垂直（ねじれの位置にあるが、向きとして垂直）。

受験のしらべ ／ https://juken-shirabe.com/daigaku/math/hc-03/test/ ／ 問題は毎回の表示で数が変わります。印刷したものはその一例です。

📄 紙で解くなら プリント（レベルと問題数を選べます）。このページをそのまま印刷しても各レベル 10 問と解答が出ます。