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小テスト ／ m1-10

比例（式・グラフ）

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比例（式・グラフ） ── 問題

基礎

  1. y は x に比例し、x = 5 のとき y = −40 です。比例定数を求めなさい。
  2. y は x に比例し、x = 2 のとき y = −8 です。y を x の式で表しなさい。　（ア y = −8x　イ y = −4x　ウ y = 4x　エ y = 2x）
  3. y = 6x について、x = −6 のときの y の値を求めなさい。
  4. y = 5x について、y = 20 のときの x の値を求めなさい。
  5. 次のうち、y が x に比例しているものはどれですか。　（ア y = x + 3　イ y = x²　ウ y = 3/x　エ y = 3x）
  6. 点 (−2, 3) の位置として正しい説明はどれですか。　（ア 原点から右へ 3、下へ 2　イ 原点から左へ 3、上へ 2　ウ 原点から右へ 2、上へ 3　エ 原点から左へ 2、上へ 3）
  7. 図の直線は比例のグラフです。y を x の式で表したとき、比例定数 a の値を求めなさい。

標準

  1. y は x に比例し、x = 9 のとき y = 12 です。y を x の式で表しなさい。　（ア y = 4x/3　イ y = 3x/4　ウ y = 4x　エ y = 12x）
  2. 比例のグラフが点 (3, −18) を通ります。このグラフの式はどれですか。　（ア y = −6x　イ y = −18x　ウ y = −x/6　エ y = 6x　undefined y = −7x）
  3. y = −3x のグラフについて正しい説明はどれですか。　（ア 点 (0, −3) を通る右下がりの直線　イ 原点を通る右下がりの直線　ウ 原点を通らない直線　エ 原点を通る右上がりの直線）
  4. y = (2/3)x のグラフをかくとき、原点のほかに通る点として最も取りやすいものはどれですか。　（ア (2, 3)　イ (2/3, 1)　ウ (3, 2)　エ (1, 2/3)）
  5. y = 3x で、x の変域が −2 ≦ x ≦ 4 のとき、y の変域はどれですか。　（ア −6 ≦ y ≦ 12　イ 6 ≦ y ≦ 12　ウ −2 ≦ y ≦ 4　エ −12 ≦ y ≦ 6）
  6. 比例 y = −2x のグラフ上に、x 座標が −1 の点 A があります。点 A から x 軸に垂線をひき、x 軸との交点を H とします。原点を O とするとき、△OAH の面積は何 cm² ですか（座標の 1 目もりを 1 cm とします）。
  7. y は x に比例し、x の値が 2 増えると、y の値は 6 減ります。y を x の式で表したものはどれですか。　（ア y = −x/3　イ y = −3x　ウ y = −6x　エ y = 3x）

発展

  1. y = −3x で、x の変域が −2 ≦ x ≦ 4 のとき、y の変域はどれですか。　（ア 6 ≦ y ≦ −12　イ −12 ≦ y ≦ 6　ウ 6 ≦ y ≦ 12　エ −6 ≦ y ≦ 12）
  2. 針金 5 m の重さが 125 g でした。この針金の重さが 325 g のとき、長さは何 m ですか。
  3. y は x に比例し、x = 2 のとき y = 3 です。x = −6 のときの y の値を求めなさい。
  4. y が x の関数であるといえるものはどれですか。　（ア x 歳の人の身長 y cm　イ 身長 x cm の人の体重 y kg　ウ 1辺 x cm の正方形の面積 y cm²　エ 年齢 x 歳の人の兄弟の人数 y 人）
  5. 長方形 ABCD で、AB = 8 cm、BC = 15 cm です。点 P は B を出発し、辺 BC 上を毎秒 3 cm の速さで C まで動きます。P が B を出発してから x 秒後の △ABP の面積を y cm² とするとき、y = 24 になるのは何秒後ですか。

比例（式・グラフ） ── 解答

基礎

  1. −8　y = ax に代入：−40 = 5a → a = −40 ÷ 5 = −8。比例定数は y ÷ x。
  2. イ　y = −4x　y = ax とおいて代入：−8 = 2a → a = −4。y = −4x。
  3. −36　代入：y = 6 × (−6) = −36。符号に注意。
  4. 4　代入：20 = 5x → x = 20 ÷ 5 = 4。
  5. エ　y = 3x　比例は y = ax の形だけ。y = x + 3 は x が 2 倍になっても y は 2 倍にならない。
  6. エ　原点から左へ 2、上へ 3　座標は (x, y) の順。x = −2 は左へ 2、y = 3 は上へ 3。
  7. 4　y = ax に点 (1, 4) を代入して 4 = a × 1、a = 4。

標準

  1. ア　y = 4x/3　12 = 9a → a = 12/9 = 4/3（約分）。y = 4x/3。a = y ÷ x を逆にしない。
  2. ア　y = −6x　原点を通る直線なので y = ax。(3, −18) を代入：−18 = 3a → a = −6。y = −6x。
  3. イ　原点を通る右下がりの直線　比例のグラフは必ず原点を通る。a = −3 ＜ 0 なので右下がり。
  4. ウ　(3, 2)　分母 3 を x にとると y = 2 で整数になる。(3, 2)。(2, 3) は逆。
  5. ア　−6 ≦ y ≦ 12　x = −2 で y = −6、x = 4 で y = 12。a ＞ 0 なので −6 ≦ y ≦ 12。
  6. 1　A の y 座標は −2 × (−1) = 2。OH = 1、AH = 2。△OAH = 1 × 2 ÷ 2 = 1 cm²。
  7. イ　y = −3x　比例 y = ax では、x が 1 増えると y は a だけ変わる。2 増えて 6 減る → 1 増えて 3 減る → a = −3。

発展

  1. イ　−12 ≦ y ≦ 6　x = −2 で y = 6、x = 4 で y = −12。a ＜ 0 なので x が増えると y は減る。小さい順に −12 ≦ y ≦ 6。
  2. 13　長さ x m の重さを y g とすると y = ax。x = 5、y = 125 から a = 25。y = 25x に y = 325 を代入：x = 325 ÷ 25 = 13。答え 13 m。
  3. −9　a = 3 ÷ 2 = 3/2。y = (3/2)x に x = −6 を代入：y = −9。
  4. ウ　1辺 x cm の正方形の面積 y cm²　x を決めると y がただ1つ決まるのが関数。1辺 x cm なら面積は x² で1つに決まる。身長や年齢では体重・身長・兄弟の数は1つに決まらない。
  5. 2　BP = 3x cm なので y = (1/2) × 8 × 3x = 12x（y は x に比例）。12x = 24 より x = 2。このとき BP = 6 cm で BC = 15 cm 以内なので適する。

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