比例・反比例の利用 ── 問題
基礎
- 時速 4 km で x 時間歩いたときの道のりを y km とする。x と y の関係はどれですか。 （ア 反比例 y = 4/x イ 比例 y = 4x ウ 比例 y = x/4 エ どちらでもない）
- 12 km の道のりを時速 x km で進むときにかかる時間を y 時間とする。x と y の関係はどれですか。 （ア 反比例 y = 12/x イ 比例 y = 12x ウ 比例 y = x/12 エ どちらでもない）
- 1辺 x cm の正方形の面積を y cm² とする。x と y の関係はどれですか。 （ア どちらでもない イ 反比例 ウ x が 2 倍で y も 2 倍になる エ 比例）
- 針金 3 m の重さは 90 g です。この針金 540 g の長さは何 m ですか。
- ある仕事を 7 人でやると 12 日かかります。同じ仕事を 12 人でやると何日かかりますか（1人あたりの仕事量は同じとします）。
- 分速 80 m で歩く人が x 分間に進む道のりを y m とします。16 分間に進む道のりは何 m ですか。
標準
- コピー用紙 50 枚の厚さが 30 mm でした。厚さが 48 cm のとき、用紙は何枚ありますか。
- かみ合っている歯車 A、B があります。A は歯数 36 で毎秒 6 回転します。B の歯数が 18 のとき、B は毎秒何回転しますか。
- 兄は分速 80 m、弟は分速 70 m で同時に家を出て同じ道を進みます。17 分後、2人の間の道のりは何 m ですか。
- てんびんが、支点から左に 30 cm の位置に 40 g のおもりでつり合っています。右側の支点から 12 cm の位置には何 g のおもりがありますか。
- グラフで、家を同時に出た兄と弟について、兄は 10 分で 800 m、弟は 10 分で 600 m の地点にいた。それぞれの式（x 分後の道のり y m）の組み合わせはどれですか。 （ア 兄 y = 80x、弟 y = 60x イ 兄 y = x/80、弟 y = x/60 ウ 兄 y = 800x、弟 y = 600x エ 兄 y = 8x、弟 y = 6x）
発展
- 60 km 離れた町まで、時速 x km で進むと y 時間かかります。時速 10 km で行くときと時速 60 km で行くときでは、かかる時間の差は何時間ですか。
- 1個 80 円のりんごを x 個買うときの代金を y 円とする。この店ではりんごを1日 30 個までしか売らない。y = 80x のグラフについて正しい説明はどれですか。 （ア 原点を通らない直線としてかく イ 0 ≦ x ≦ 30 の範囲の線分としてかく ウ x ≧ 30 の部分だけかく エ 原点を通る直線を、どこまでも延ばしてかく）
- 「ある仕事を 6 人でやると 10 日かかる。4 人ならば何日か」という問題で、「1人あたりの仕事量は同じとする」と書かれている理由として正しいものはどれですか。 （ア 仕事の総量を 6 × 10 でなく 6 + 10 で求めるため イ 人数と日数が反比例するとみなして計算できるようにするため ウ 人数と日数が比例するとみなすため エ 答えを整数にするため）
- 弟が分速 40 m で家を出て、その 14 分後に兄が分速 80 m で追いかけました。兄が家を出てから x 分後の、兄と弟それぞれの家からの道のりを式にして考えるとき、兄が弟に追いつくのは兄が出てから何分後ですか。
比例・反比例の利用 ── 解答
基礎
- イ 比例 y = 4x 速さが一定なら、時間が 2 倍で道のりも 2 倍。道のり = 速さ × 時間 = 4x。
- ア 反比例 y = 12/x 道のりが一定なら、速さが 2 倍で時間は半分。速さ × 時間 = 12 で xy = 12。
- ア どちらでもない y = x²。x が 2 倍になると y は 4 倍。比例でも反比例でもない。
- 18 x m の重さ y g は比例 y = ax。a = 90 ÷ 3 = 30。540 = 30x → x = 18。答え 18 m。
- 7 人数 × 日数 = 仕事の総量で一定：7 × 12 = 84。12 人なら 84 ÷ 12 = 7 日。
- 1280 y = 80x に x = 16 を代入：y = 1280。答え 1280 m。
標準
- 800 x 枚の厚さ y mm は比例。50 枚で 30 mm なので 1 枚 30/50 mm。48 cm = 480 mm（単位をそろえる）。480 ÷ (30/50) = 800 枚。
- 12 歯数 × 回転数 は等しい：36 × 6 = 216。18 × y = 216 → y = 12。毎秒 12 回転。
- 170 兄 y = 80x、弟 y = 70x。17 分後は兄 1360 m、弟 1190 m。差は 170 m。比例定数の差 10 × 17 と考えても同じ。
- 100 重さ × 距離 が左右で等しい：30 × 40 = 1200。12 × w = 1200 → w = 100 g。
- ア 兄 y = 80x、弟 y = 60x 比例定数 = 速さ。800 ÷ 10 = 80、600 ÷ 10 = 60。
発展
- 5 y = 60/x（反比例）。時速 10 km なら 6 時間、時速 60 km なら 1 時間。差は 5 時間。
- イ 0 ≦ x ≦ 30 の範囲の線分としてかく 式が使えるのは変域 0 ≦ x ≦ 30 の中だけ。グラフも変域の範囲で線分になる。
- イ 人数と日数が反比例するとみなして計算できるようにするため 現実には人によって仕事量が違うが、「同じとみなす」ことで 人数 × 日数 = 一定（反比例）として計算できる。
- 14 兄 y = 80x、弟 y = 40(x + 14)。追いつくとき道のりが等しい：80x = 40x + 560 → 40x = 560 → x = 14。答え 14 分後。
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