比例・反比例の利用 ── 問題
基礎
- 時速 4 km で x 時間歩いたときの道のりを y km とする。x と y の関係はどれですか。 （ア 反比例 y = 4/x イ 比例 y = 4x ウ 比例 y = x/4 エ どちらでもない）
- 12 km の道のりを時速 x km で進むときにかかる時間を y 時間とする。x と y の関係はどれですか。 （ア 反比例 y = 12/x イ 比例 y = 12x ウ 比例 y = x/12 エ どちらでもない）
- 1辺 x cm の正方形の面積を y cm² とする。x と y の関係はどれですか。 （ア どちらでもない イ 反比例 ウ x が 2 倍で y も 2 倍になる エ 比例）
- 針金 5 m の重さは 50 g です。この針金 90 g の長さは何 m ですか。
- ある仕事を 8 人でやると 4 日かかります。同じ仕事を 2 人でやると何日かかりますか（1人あたりの仕事量は同じとします）。
- 分速 80 m で歩く人が x 分間に進む道のりを y m とします。19 分間に進む道のりは何 m ですか。
標準
- コピー用紙 50 枚の厚さが 30 mm でした。厚さが 24 cm のとき、用紙は何枚ありますか。
- かみ合っている歯車 A、B があります。A は歯数 18 で毎秒 4 回転します。B の歯数が 24 のとき、B は毎秒何回転しますか。
- 兄は分速 80 m、弟は分速 50 m で同時に家を出て同じ道を進みます。11 分後、2人の間の道のりは何 m ですか。
- てんびんが、支点から左に 20 cm の位置に 60 g のおもりでつり合っています。右側の支点から 10 cm の位置には何 g のおもりがありますか。
- グラフで、家を同時に出た兄と弟について、兄は 10 分で 800 m、弟は 10 分で 600 m の地点にいた。それぞれの式（x 分後の道のり y m）の組み合わせはどれですか。 （ア 兄 y = 80x、弟 y = 60x イ 兄 y = x/80、弟 y = x/60 ウ 兄 y = 800x、弟 y = 600x エ 兄 y = 8x、弟 y = 6x）
- ある自動車が走った道のり x km と、使ったガソリンの量 y L を調べると、次の表のようになりました。y は x に比例しています。 道のり（km）｜36｜48｜72 ガソリン（L）｜3｜4｜6 この自動車で 132 km 走るとき、ガソリンは何 L 使いますか。
- 歯数 30 の歯車 A が毎分 30 回転しています。A とかみ合う歯車 B を毎分 12 回転させるには、B の歯数をいくつにすればよいですか。
- 兄と弟が同時に家を出て、同じ道を進みます。家を出てから x 分後に進んだ道のりを y m とすると、兄は y = 80x、弟は y = 60x と表せます。家から 1200 m の地点を兄が通ってから、弟が通るまでに何分かかりますか。 （ア 3 分 イ 5 分 ウ 20 分 エ 15 分）
発展
- 120 km 離れた町まで、時速 x km で進むと y 時間かかります。時速 12 km で行くときと時速 20 km で行くときでは、かかる時間の差は何時間ですか。
- 1個 80 円のりんごを x 個買うときの代金を y 円とする。この店ではりんごを1日 30 個までしか売らない。y = 80x のグラフについて正しい説明はどれですか。 （ア 原点を通らない直線としてかく イ 0 ≦ x ≦ 30 の範囲の線分としてかく ウ x ≧ 30 の部分だけかく エ 原点を通る直線を、どこまでも延ばしてかく）
- 「ある仕事を 6 人でやると 10 日かかる。4 人ならば何日か」という問題で、「1人あたりの仕事量は同じとする」と書かれている理由として正しいものはどれですか。 （ア 仕事の総量を 6 × 10 でなく 6 + 10 で求めるため イ 人数と日数が反比例するとみなして計算できるようにするため ウ 人数と日数が比例するとみなすため エ 答えを整数にするため）
- 弟が分速 50 m で家を出て、その 6 分後に兄が分速 80 m で追いかけました。兄が家を出てから x 分後の、兄と弟それぞれの家からの道のりを式にして考えるとき、兄が弟に追いつくのは兄が出てから何分後ですか。
- A さんは、家から 3000 m 離れた図書館へ分速 60 m で歩いて向かいました。妹は A さんより何分か遅れて家を出て、分速 150 m の自転車で同じ道を進んだところ、2 人は同時に図書館に着きました。妹は A さんより何分遅れて家を出ましたか。
比例・反比例の利用 ── 解答
基礎
- イ 比例 y = 4x 速さが一定なら、時間が 2 倍で道のりも 2 倍。道のり = 速さ × 時間 = 4x。
- ア 反比例 y = 12/x 道のりが一定なら、速さが 2 倍で時間は半分。速さ × 時間 = 12 で xy = 12。
- ア どちらでもない y = x²。x が 2 倍になると y は 4 倍。比例でも反比例でもない。
- 9 x m の重さ y g は比例 y = ax。a = 50 ÷ 5 = 10。90 = 10x → x = 9。答え 9 m。
- 16 人数 × 日数 = 仕事の総量で一定：8 × 4 = 32。2 人なら 32 ÷ 2 = 16 日。
- 1520 y = 80x に x = 19 を代入：y = 1520。答え 1520 m。
標準
- 400 x 枚の厚さ y mm は比例。50 枚で 30 mm なので 1 枚 30/50 mm。24 cm = 240 mm（単位をそろえる）。240 ÷ (30/50) = 400 枚。
- 3 歯数 × 回転数 は等しい：18 × 4 = 72。24 × y = 72 → y = 3。毎秒 3 回転。
- 330 兄 y = 80x、弟 y = 50x。11 分後は兄 880 m、弟 550 m。差は 330 m。比例定数の差 30 × 11 と考えても同じ。
- 120 重さ × 距離 が左右で等しい：20 × 60 = 1200。10 × w = 1200 → w = 120 g。
- ア 兄 y = 80x、弟 y = 60x 比例定数 = 速さ。800 ÷ 10 = 80、600 ÷ 10 = 60。
- 11 1 L あたり 36 ÷ 3 = 12 km 走る（y = x/12）。132 ÷ 12 = 11 L。
- 75 かみ合う歯車では、1 分間にかみ合う歯の数（歯数 × 回転数）が等しい。30 × 30 = 900 なので、B の歯数は 900 ÷ 12 = 75（歯数と回転数は反比例）。
- イ 5 分 兄は 1200 ÷ 80 = 15 分後、弟は 1200 ÷ 60 = 20 分後に通る。差は 5 分。グラフでは y = 1200 の横線と 2 本の直線の交点の、x 座標の差。
発展
- 4 y = 120/x（反比例）。時速 12 km なら 10 時間、時速 20 km なら 6 時間。差は 4 時間。
- イ 0 ≦ x ≦ 30 の範囲の線分としてかく 式が使えるのは変域 0 ≦ x ≦ 30 の中だけ。グラフも変域の範囲で線分になる。
- イ 人数と日数が反比例するとみなして計算できるようにするため 現実には人によって仕事量が違うが、「同じとみなす」ことで 人数 × 日数 = 一定（反比例）として計算できる。
- 10 兄 y = 80x、弟 y = 50(x + 6)。追いつくとき道のりが等しい：80x = 50x + 300 → 30x = 300 → x = 10。答え 10 分後。
- 30 時間 = 道のり ÷ 速さ。A さんは 3000 ÷ 60 = 50 分、妹は 3000 ÷ 150 = 20 分かかる。差の 30 分だけ遅れて出ればよい。
受験のしらべ ／ https://juken-shirabe.com/koko/math/m1-12/test/ ／ 問題は毎回の表示で数が変わります。印刷したものはその一例です。
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