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小テスト ／ m1-15

円とおうぎ形（弧・面積）

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円とおうぎ形（弧・面積） ── 問題

基礎

  1. 半径 2 cm の円の円周の長さは □π cm です。□に入る数を答えなさい。
  2. 半径 4 cm の円の面積は □π cm² です。□に入る数を答えなさい。
  3. 直径 8 cm の円の面積は □π cm² です。□に入る数を答えなさい。
  4. 半径 4 cm、中心角 90° のおうぎ形の弧の長さは □π cm です。□に入る数を答えなさい。
  5. 半径 6 cm、中心角 60° のおうぎ形の面積は □π cm² です。□に入る数を答えなさい。
  6. 円の接線と、接点を通る半径の関係として正しいものはどれですか。　（ア 関係は決まっていない　イ 平行　ウ 垂直　エ 45° で交わる）

標準

  1. 半径 24 cm のおうぎ形の弧の長さが 18π cm のとき、中心角は何度ですか。
  2. 中心角 60°、面積 6π cm² のおうぎ形の半径は何 cm ですか。
  3. 半径 10 cm、弧の長さ 6π cm のおうぎ形の面積は □π cm² です。□に入る数を答えなさい。
  4. 半径 6 cm、中心角 60° のおうぎ形の弧の長さと面積の組み合わせはどれですか。　（ア 弧 6π cm、面積 2π cm²　イ 弧 2π cm、面積 6π cm²　ウ 弧 12π cm、面積 6π cm²　エ 弧 2π cm、面積 36π cm²）
  5. 円周上の2点を結ぶ線分のうち、最も長いものは何ですか。　（ア 直径　イ 半径　ウ 弧　エ 接線）
  6. 図のおうぎ形の弧の長さは □π cm です。□に入る数を答えなさい。
  7. 図のおうぎ形の面積は □π cm² です。□に入る数を答えなさい。
  8. 時計の長針の長さは 12 cm です。長針が 10 分間に動いてできるおうぎ形の面積は □π cm² です。□に入る数を答えなさい。

発展

  1. 1辺 6 cm の正方形の内部に、1つの頂点を中心とする半径 6 cm の四分円（中心角 90°）をかいた。正方形から四分円を除いた部分の面積はどれですか。　（ア 36 − 9π cm²　イ 36 − 36π cm²　ウ 36 − 3π cm²　エ 9π − 36 cm²）
  2. 1辺 4 cm の正方形で、向かい合う2つの頂点をそれぞれ中心とする半径 4 cm の四分円をかいた。2つの四分円が重なった部分（葉の形）の面積はどれですか。　（ア 8π cm²　イ 4π − 16 cm²　ウ 16 − 8π cm²　エ 8π − 16 cm²）
  3. 弧の長さが 8π cm、面積が 28π cm² のおうぎ形の半径は何 cm ですか。
  4. おうぎ形の面積 S、弧の長さ ℓ、半径 r について S = (1/2)ℓr が成り立つ理由として正しいものはどれですか。　（ア 中心角が 360° のときに円になり、S = πr² だから　イ おうぎ形は底辺 ℓ、高さ r の三角形とまったく同じ形だから　ウ 弧の長さ ℓ はいつも半径 r の 2 倍になるから　エ S も ℓ も中心角に比例するので S ÷ ℓ = r/2 になるから）
  5. 半径 10 cm、中心角 90° のおうぎ形 OAB から、△OAB を除いた部分の面積はどれですか。　（ア （50π − 50）cm²　イ （25π − 100）cm²　ウ （100π − 50）cm²　エ （25π − 50）cm²）

円とおうぎ形（弧・面積） ── 解答

基礎

  1. 4　円周 = 2πr = 2π × 2 = 4π cm。
  2. 16　面積 = πr² = π × 4² = 16π cm²。
  3. 16　直径 8 cm なので半径は 4 cm。面積 = π × 4² = 16π cm²。直径をそのまま使わない。
  4. 2　円周 2π × 4 = 8π。割合 90/360 = 1/4。弧 = 8π × 1/4 = 2π cm。
  5. 6　円の面積 π × 6² = 36π。割合 60/360 = 1/6。面積 = 36π × 1/6 = 6π cm²。
  6. ウ　垂直　円の接線は、接点を通る半径に垂直。作図や証明で繰り返し使う。

標準

  1. 135　円周は 2π × 24 = 48π。弧 18π ÷ 円周 48π = 割合。中心角 = 360 × 割合 = 135°。
  2. 6　πr² × 60/360 = 6π → r² × 1/6 = 6 → r² = 36 → r = 6 cm。
  3. 30　S = (1/2) × 弧 × 半径 = (1/2) × 6π × 10 = 30π cm²。中心角を出さなくても求まる。
  4. イ　弧 2π cm、面積 6π cm²　割合 60/360 = 1/6。弧 = 12π × 1/6 = 2π、面積 = 36π × 1/6 = 6π。
  5. ア　直径　弦のうち最も長いのは中心を通る弦＝直径。
  6. 2　弧の長さ = 2πr × 中心角/360 = 2π × 4 × 90/360 = 2π cm。
  7. 8　面積 = πr² × 中心角/360 = π × 8² × 45/360 = 8π cm²。
  8. 24　長針は 60 分で 360° 回るので、1 分で 6°。10 分では 60°。面積 = π × 12² × 60/360 = 24π cm²。

発展

  1. ア　36 − 9π cm²　正方形 36 − 四分円 π × 6² × 1/4 = 36 − 9π。答えは π を含んだ式のままでよい。
  2. エ　8π − 16 cm²　重なり = 2つの四分円の和 − 正方形 = 2 × 4π − 16 = 8π − 16。
  3. 7　S = (1/2)ℓr より 28π = (1/2) × 8π × r → r = 7 cm。
  4. エ　S も ℓ も中心角に比例するので S ÷ ℓ = r/2 になるから　2つの式の割合の部分 a/360 が共通なので、S ÷ ℓ = πr² ÷ 2πr = r/2。よって S = ℓ × r/2。
  5. エ　（25π − 50）cm²　おうぎ形 = π × 10² × 90/360 = 25π cm²。△OAB は直角をはさむ 2 辺が 10 cm なので 10 × 10 ÷ 2 = 50 cm²。差は 25π − 50 cm²。

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