空間図形（立体・位置関係・投影図） ── 問題
基礎
- 5角柱の面の数を答えなさい。
- 5角錐の辺の数を答えなさい。
- 5角柱の頂点の数を答えなさい。
- 空間にある2直線が、交わらず、平行でもないとき、この2直線の関係を何といいますか。 （ア 平面上の位置 イ 交差 ウ 垂直 エ ねじれの位置）
- 長方形を、その1辺を軸として1回転させてできる立体はどれですか。 （ア 円柱 イ 球 ウ 三角柱 エ 円錐）
- 投影図で、立面図が長方形、平面図が円である立体はどれですか。 （ア 球 イ 円柱 ウ 円錐 エ 四角柱）
標準
- 直方体 ABCD-EFGH（上の面が EFGH、A の真上が E）で、辺 AB とねじれの位置にある辺はどれですか。 （ア 辺 DC イ 辺 CG ウ 辺 AD エ 辺 EF）
- 直方体の 12 本の辺のうち、1本の辺とねじれの位置にある辺は何本ありますか。 （ア 3 本 イ 4 本 ウ 8 本 エ 2 本）
- 正多面体は何種類ありますか。 （ア 3 種類 イ 4 種類 ウ 5 種類 エ 無数にある）
- 円錐の展開図について正しいものはどれですか。 （ア 三角形と円 イ おうぎ形と円。おうぎ形の弧の長さは底面の円周に等しい ウ 長方形と円 2 つ エ おうぎ形と円。おうぎ形の半径は底面の半径に等しい）
- 直線 ℓ が平面 P に垂直であるといえるのはどのときですか。 （ア ℓ が P 上の1本の直線に垂直なとき イ ℓ が P 上のすべての直線と平行なとき ウ ℓ が P と交わるとき エ ℓ が P 上の交わる2本の直線に垂直なとき）
発展
- 正八面体の面・辺・頂点の数の組み合わせはどれですか。 （ア 面 8、辺 12、頂点 6 イ 面 8、辺 16、頂点 8 ウ 面 6、辺 12、頂点 8 エ 面 8、辺 12、頂点 8）
- 底面の半径 5 cm、母線の長さ 20 cm の円錐の展開図で、側面のおうぎ形の中心角は何度ですか。
- 直角三角形を、直角をはさむ1辺を軸に1回転させた立体を、軸を含む平面で切ったときの切り口はどれですか。 （ア 直角三角形 イ 円 ウ 二等辺三角形 エ 長方形）
- 立方体の展開図で、一直線に並んだ3つの面 A、B、C について正しいものはどれですか。 （ア A と B が向かい合う イ A と C が向かい合う ウ 3 面とも互いに向かい合う エ 3 面とも隣り合う）
空間図形（立体・位置関係・投影図） ── 解答
基礎
- 7 側面が 5 個と底面が 2 個で 7 個。
- 10 底面の辺が 5 本、頂点から底面の各頂点への辺が 5 本で 10 本。
- 10 上下の底面にそれぞれ 5 個ずつで 10 個。
- エ ねじれの位置 交わらず平行でもない（同じ平面上にない）2直線はねじれの位置にある。
- ア 円柱 長方形を1辺のまわりに回すと円柱。直角三角形なら円錐、半円なら球。
- イ 円柱 正面から長方形、真上から円に見えるのは円柱。円錐なら立面図は三角形。
標準
- イ 辺 CG EF は AB と平行、AD は交わる、DC は平行。CG は交わらず平行でもないのでねじれの位置。
- イ 4 本 自分自身 1 本、交わる辺 4 本、平行な辺 3 本を除くと 12 − 8 = 4 本。
- ウ 5 種類 正四面体・正六面体・正八面体・正十二面体・正二十面体の 5 種類だけ。
- イ おうぎ形と円。おうぎ形の弧の長さは底面の円周に等しい 側面はおうぎ形で、その弧が底面の円周とぴったり重なる。おうぎ形の半径は母線の長さ。
- エ ℓ が P 上の交わる2本の直線に垂直なとき 交点を通る2本の直線に垂直なら、平面上のすべての直線に垂直になる（2本で平面が決まる）。
発展
- ア 面 8、辺 12、頂点 6 正八面体は正三角形 8 面、辺 12、頂点 6。頂点 − 辺 + 面 = 6 − 12 + 8 = 2 で確かめられる。
- 90 おうぎ形の弧 = 底面の円周。2π × 20 × a/360 = 2π × 5 → a = 360 × 5/20 = 90°。
- ウ 二等辺三角形 できる立体は円錐。軸を含む平面で切ると、軸について線対称な二等辺三角形。軸に垂直に切れば円。
- イ A と C が向かい合う 一直線に並んだ3面は、両端の A と C が向かい合う（1つとばし）。B は A、C の両方と隣り合う。
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