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小テスト ／ m1-16

空間図形（立体・位置関係・投影図）

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空間図形（立体・位置関係・投影図） ── 問題

基礎

  1. 3角柱の面の数を答えなさい。
  2. 4角錐の辺の数を答えなさい。
  3. 5角柱の頂点の数を答えなさい。
  4. 空間にある2直線が、交わらず、平行でもないとき、この2直線の関係を何といいますか。　（ア 平面上の位置　イ 交差　ウ 垂直　エ ねじれの位置）
  5. 長方形を、その1辺を軸として1回転させてできる立体はどれですか。　（ア 円柱　イ 球　ウ 三角柱　エ 円錐）
  6. 投影図で、立面図が長方形、平面図が円である立体はどれですか。　（ア 球　イ 円柱　ウ 円錐　エ 四角柱）

標準

  1. 直方体 ABCD-EFGH（上の面が EFGH、A の真上が E）で、辺 AB とねじれの位置にある辺はどれですか。　（ア 辺 DC　イ 辺 CG　ウ 辺 AD　エ 辺 EF）
  2. 直方体の 12 本の辺のうち、1本の辺とねじれの位置にある辺は何本ありますか。　（ア 3 本　イ 4 本　ウ 8 本　エ 2 本）
  3. 正多面体は何種類ありますか。　（ア 3 種類　イ 4 種類　ウ 5 種類　エ 無数にある）
  4. 円錐の展開図について正しいものはどれですか。　（ア 三角形と円　イ おうぎ形と円。おうぎ形の弧の長さは底面の円周に等しい　ウ 長方形と円 2 つ　エ おうぎ形と円。おうぎ形の半径は底面の半径に等しい）
  5. 直線 ℓ が平面 P に垂直であるといえるのはどのときですか。　（ア ℓ が P 上の1本の直線に垂直なとき　イ ℓ が P 上のすべての直線と平行なとき　ウ ℓ が P と交わるとき　エ ℓ が P 上の交わる2本の直線に垂直なとき）
  6. 正5角柱で、側面の 1 本の辺（底面と底面を結ぶ辺）とねじれの位置にある辺は何本ありますか。
  7. 投影図で、立面図が三角形、平面図が正方形である立体はどれですか。　（ア 正四角錐　イ 円柱　ウ 正四角柱　エ 円錐）

発展

  1. 正八面体の面・辺・頂点の数の組み合わせはどれですか。　（ア 面 8、辺 12、頂点 6　イ 面 8、辺 16、頂点 8　ウ 面 6、辺 12、頂点 8　エ 面 8、辺 12、頂点 8）
  2. 底面の半径 1 cm、母線の長さ 4 cm の円錐の展開図で、側面のおうぎ形の中心角は何度ですか。
  3. 直角三角形を、直角をはさむ1辺を軸に1回転させた立体を、軸を含む平面で切ったときの切り口はどれですか。　（ア 直角三角形　イ 円　ウ 二等辺三角形　エ 長方形）
  4. 立方体の展開図で、一直線に並んだ3つの面 A、B、C について正しいものはどれですか。　（ア A と B が向かい合う　イ A と C が向かい合う　ウ 3 面とも互いに向かい合う　エ 3 面とも隣り合う）
  5. ある多面体は、面の数が 7、頂点の数が 10 です。この多面体の辺の数はいくつですか。
  6. 立方体 ABCD-EFGH（上の面が EFGH、A の真上が E）を、4 点 A、C、G、E を通る平面で切りました。切り口の形はどれですか。　（ア 正方形ではないひし形　イ 正方形ではない長方形　ウ 平行四辺形ではない台形　エ 正方形）

空間図形（立体・位置関係・投影図） ── 解答

基礎

  1. 5　側面が 3 個と底面が 2 個で 5 個。
  2. 8　底面の辺が 4 本、頂点から底面の各頂点への辺が 4 本で 8 本。
  3. 10　上下の底面にそれぞれ 5 個ずつで 10 個。
  4. エ　ねじれの位置　交わらず平行でもない（同じ平面上にない）2直線はねじれの位置にある。
  5. ア　円柱　長方形を1辺のまわりに回すと円柱。直角三角形なら円錐、半円なら球。
  6. イ　円柱　正面から長方形、真上から円に見えるのは円柱。円錐なら立面図は三角形。

標準

  1. イ　辺 CG　EF は AB と平行、AD は交わる、DC は平行。CG は交わらず平行でもないのでねじれの位置。
  2. イ　4 本　自分自身 1 本、交わる辺 4 本、平行な辺 3 本を除くと 12 − 8 = 4 本。
  3. ウ　5 種類　正四面体・正六面体・正八面体・正十二面体・正二十面体の 5 種類だけ。
  4. イ　おうぎ形と円。おうぎ形の弧の長さは底面の円周に等しい　側面はおうぎ形で、その弧が底面の円周とぴったり重なる。おうぎ形の半径は母線の長さ。
  5. エ　ℓ が P 上の交わる2本の直線に垂直なとき　交点を通る2本の直線に垂直なら、平面上のすべての直線に垂直になる（2本で平面が決まる）。
  6. 6　辺は全部で 15 本。その辺自身を除き、交わる辺は上と下の底面に 2 本ずつで 4 本、平行な辺は残りの側面の辺 4 本。15 − 1 − 4 − 4 = 6 本（上下の底面の辺のうち、端が重ならない 3 本ずつ）。
  7. ア　正四角錐　真上から見て正方形、正面から見て三角形なので、底面が正方形の角錐。円柱は平面図が円か長方形、円錐は平面図が円、正四角柱は立面図が長方形。

発展

  1. ア　面 8、辺 12、頂点 6　正八面体は正三角形 8 面、辺 12、頂点 6。頂点 − 辺 + 面 = 6 − 12 + 8 = 2 で確かめられる。
  2. 90　おうぎ形の弧 = 底面の円周。2π × 4 × a/360 = 2π × 1 → a = 360 × 1/4 = 90°。
  3. ウ　二等辺三角形　できる立体は円錐。軸を含む平面で切ると、軸について線対称な二等辺三角形。軸に垂直に切れば円。
  4. イ　A と C が向かい合う　一直線に並んだ3面は、両端の A と C が向かい合う（1つとばし）。B は A、C の両方と隣り合う。
  5. 15　（頂点の数）−（辺の数）+（面の数）= 2 が、へこみのない多面体で成り立つ（オイラーの多面体定理）。辺 = 7 + 10 − 2 = 15。たとえば五角柱が、面 7・頂点 10・辺 15 の多面体。
  6. イ　正方形ではない長方形　AC と EG は面の対角線、AE と CG は辺なので、となり合う辺の長さがちがう。AE は底面に垂直なので 4 つの角は直角。長方形だが正方形ではない。

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