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小テスト ／ m1-17

立体の表面積と体積

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立体の表面積と体積 ── 問題

基礎

  1. 底面が 1辺 2 cm の正方形で、高さ 12 cm の四角柱の体積は何 cm³ ですか。
  2. 底面が底辺 10 cm・高さ 4 cm の三角形で、高さ 4 cm の三角柱の体積は何 cm³ ですか。
  3. 底面の半径 3 cm、高さ 6 cm の円柱の体積は □π cm³ です。□に入る数を答えなさい。
  4. 底面が 1辺 3 cm の正方形で、高さ 4 cm の四角錐の体積は何 cm³ ですか。
  5. 底面の半径 2 cm、高さ 9 cm の円錐の体積は □π cm³ です。□に入る数を答えなさい。
  6. 半径 5 cm の球の表面積は □π cm² です。□に入る数を答えなさい。

標準

  1. 底面の半径 4 cm、高さ 9 cm の円柱の表面積は □π cm² です。□に入る数を答えなさい。
  2. 底面の半径 2 cm、母線の長さ 8 cm の円錐の側面積は □π cm² です。□に入る数を答えなさい。
  3. 底面の半径 1 cm、母線の長さ 3 cm の円錐の表面積は □π cm² です。□に入る数を答えなさい。
  4. 底面が 3 cm・4 cm・5 cm の直角三角形（3 cm と 4 cm の辺が直角をはさむ）で、高さ 4 cm の三角柱の表面積は何 cm² ですか。
  5. 半径 9 cm の球の体積は □π cm³ です。□に入る数を答えなさい。
  6. 縦 25 cm、横 20 cm の直方体の水そうに、深さ 11 cm まで水が入っています。この中に体積 1000 cm³ の石を完全に沈めると、水面は何 cm 上がりますか（水はあふれないものとします）。
  7. 底面の半径 r、高さ 2r の円柱と、底面の半径 r、高さ 2r の円錐と、半径 r の球があります。体積の比（円柱 : 円錐 : 球）はどれですか。　（ア 2 : 1 : 3　イ 3 : 1 : 4　ウ 3 : 2 : 1　エ 3 : 1 : 2）

発展

  1. 縦 7 cm・横 9 cm・高さ 7 cm の直方体から、底面の半径 2 cm・高さ 7 cm の円柱をくり抜いた立体の体積はどれですか。　（ア 28π + 441 cm³　イ 441 − 28π/3 cm³　ウ 441 − 56π cm³　エ 441 − 28π cm³）
  2. 底面の半径 6 cm、高さ 7 cm の円柱の上に、同じ底面で高さ 6 cm の円錐をのせた立体の体積は □π cm³ です。□に入る数を答えなさい。
  3. 直角をはさむ2辺が 2 cm と 9 cm の直角三角形を、9 cm の辺を軸として1回転させてできる立体の体積は □π cm³ です。□に入る数を答えなさい。
  4. 半径 3 cm の半球の表面積はどれですか。　（ア 9π cm²　イ 18π cm²　ウ 27π cm²　エ 36π cm²）
  5. 底面の半径 4 cm の円柱の容器に、深さ 7 cm まで水が入っています。この水を全部、底面の半径 2 cm の円柱の容器に移すと、水の深さは何 cm になりますか。
  6. 円錐の展開図で、側面のおうぎ形の半径が 12 cm、中心角が 90° です。この円錐の表面積は □π cm² です。□に入る数を答えなさい。

立体の表面積と体積 ── 解答

基礎

  1. 48　底面積 2² = 4。体積 = 底面積 × 高さ = 4 × 12 = 48 cm³。
  2. 80　底面積 = 10 × 4 ÷ 2 = 20（÷2 を忘れない）。体積 = 20 × 4 = 80 cm³。
  3. 54　底面積 π × 3² = 9π。体積 = 9π × 6 = 54π cm³。
  4. 12　錐は柱の 1/3。(1/3) × 9 × 4 = 12 cm³。
  5. 12　(1/3) × π × 2² × 9 = 12π cm³。使うのは高さ（母線ではない）。
  6. 100　球の表面積 = 4πr² = 4π × 5² = 100π cm²。

標準

  1. 104　側面 = 円周 2π×4 × 高さ 9 = 72π。底面 π×4² が 2 つで 32π。合計 104π cm²。
  2. 16　側面のおうぎ形：半径は母線 8、弧は底面の円周 4π。面積 = (1/2) × 4π × 8 = 16π cm²（πrR でも同じ）。
  3. 4　側面 π × 1 × 3 = 3π、底面 π × 1² = 1π。表面積 = 4π cm²。底面は 1 つ。
  4. 60　底面積 3×4÷2 = 6、2 つで 12。側面は 底面の周 12 × 高さ 4 = 48 の長方形。表面積 = 48 + 12 = 60 cm²。
  5. 972　(4/3)πr³ = (4/3)π × 9³ = (4/3) × 729π = 972π cm³。
  6. 2　上がった分の水の体積 = 石の体積。底面積 500 cm² × x cm = 1000 cm³ から x = 2 cm。
  7. エ　3 : 1 : 2　円柱 πr² × 2r = 2πr³、円錐はその 1/3 で (2/3)πr³、球は (4/3)πr³。3 倍して 6 : 2 : 4 = 3 : 1 : 2。

発展

  1. エ　441 − 28π cm³　直方体 441 − 円柱 π × 2² × 7 = 441 − 28π。
  2. 324　円柱 36π × 7 = 252π、円錐 (1/3) × 36π × 6 = 72π。合計 324π cm³。
  3. 12　底面の半径 2、高さ 9 の円錐。(1/3) × π × 2² × 9 = 12π cm³。軸の辺が高さになる。
  4. ウ　27π cm²　球面の半分 4π × 9 ÷ 2 = 18π に、切り口の円 9π を足して 27π。切り口を忘れない。
  5. 28　水の体積 π × 4² × 7 = 112π cm³ は変わらない。π × 2² × x = 112π から x = 28 cm。
  6. 45　おうぎ形の弧の長さ = 底面の円周 なので、2π × 12 × 90/360 = 2πr、底面の半径 r = 3 cm。側面 = π × 12² × 90/360 = 36π、底面 = π × 3² = 9π。合計 45π cm²。

受験のしらべ ／ https://juken-shirabe.com/koko/math/m1-17/test/ ／ 問題は毎回の表示で数が変わります。印刷したものはその一例です。

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