文字式の利用（説明・証明） ── 問題
基礎
- n を整数とするとき、奇数を表す式はどれですか。 （ア 2n イ 3n ウ n + 1 エ 2n + 1）
- 十の位が a、一の位が b の 2 けたの整数を表す式はどれですか。 （ア 10b + a イ ab ウ 10a + b エ a + b）
- 連続する 3 つの整数を、n を使って表したものはどれですか。 （ア n、n + 2、n + 4 イ n、n + 1、n + 2 ウ n − 1、n + 1、n + 3 エ n、2n、3n）
- 連続する 2 つの奇数を、n を使って表したものはどれですか。 （ア 2n − 1、2n + 3 イ 2n + 1、2n + 2 ウ 2n + 1、2n + 3 エ n、n + 1）
- 「2 つの偶数の和は偶数」を説明するとき、2 つの偶数のおき方として正しいものはどれですか。 （ア 2n と 2n イ n と n + 2 ウ 2n と 2n + 2 エ 2m と 2n（m、n は整数））
- 連続する 3 つの整数 n、n + 1、n + 2 の和を計算し、結論の形に整えたものはどれですか。 （ア 3n イ 3(n + 1) ウ 3n + 3 エ n + 3）
標準
- 連続する 5 つの整数の和を、最も小さい数を n として計算し、結論の形に整えたものはどれですか。 （ア 5n イ 5(n + 2) ウ 5(n + 1) エ 5n + 10）
- 偶数 2m と奇数 2n + 1 の和を計算し、「奇数」であることを示す形に整えたものはどれですか。 （ア 2(m + n) + 1 イ (2m + 2n) + 1 ウ 2(m + n + 1) エ 2m + 2n + 1）
- 2 けたの整数 10a + b と、十の位と一の位を入れかえた数の和を整えたものはどれですか。 （ア 9(a − b) イ 10(a + b) ウ 11ab エ 11(a + b)）
- 2 けたの整数 10a + b から、十の位と一の位を入れかえた数をひいた差を整えたものはどれですか。 （ア a − b イ 9(a − b) ウ 9(a + b) エ 11(a − b)）
- 説明で「3n + 3 なので 3 の倍数である」と書いた。採点で減点される理由として正しいものはどれですか。 （ア 3(n + 1) の形にくくって示していないから イ 3n + 3 までの計算が間違っているから ウ はじめに n を整数と決めていないから エ 3n + 3 はそもそも 3 の倍数ではないから）
- カレンダー（1 週間の 7 日が横 1 行に並ぶ）で、縦 2 日・横 2 日の正方形で囲んだ 4 つの日付の和が 24 になりました。囲んだ 4 つのうち、左上の日付を求めなさい。
- 連続する 3 つの奇数の和について、n を整数として 2n + 1、2n + 3、2n + 5 とおいて計算しました。結論として正しいものはどれですか。 （ア 6n + 9 = 3(2n + 3) なので、6 の倍数である イ 6n + 9 = 3(2n + 3) なので、3 の倍数である ウ 6n + 9 = 6(n + 1) + 3 なので、6 の倍数である エ 6n + 9 = 9(n + 1) なので、9 の倍数である）
発展
- カレンダーで縦に並んだ 3 つの数の和が真ん中の数の 3 倍になることを説明する。真ん中の数を n とするとき、上と下の数はどれですか。 （ア n − 1 と n + 1 イ n − 6 と n + 8 ウ n − 30 と n + 30 エ n − 7 と n + 7）
- 「連続する 2 つの奇数の和は 4 の倍数」の説明として、正しい計算と結論の組み合わせはどれですか。 （ア (2n + 1) + (2n + 1) = 4n + 2 = 2(2n + 1)。よって 4 の倍数 イ (2n + 1) + (2n + 3) = 4n + 4。くくらずに、これで 4 の倍数とする ウ (2n + 1) + (2n + 3) = 4n + 4 = 4(n + 1)。n + 1 は整数なので 4 の倍数 エ n + (n + 2) = 2n + 2 = 2(n + 1)。n + 1 は整数なので 4 の倍数）
- 「3 けたの整数で、各位の数の和が 9 の倍数なら、その整数は 9 の倍数」を説明する。100a + 10b + c を「9 × (整数) + (a + b + c)」の形に整えたものはどれですか。 （ア 9(10a + b) + (a + b + c) イ 9(11a + b) + (a + b + c) ウ 100(a + b + c) エ 9(a + b + c)）
- 記述問題で計算の途中でつまったとき、得点の面で最も適切な行動はどれですか。 （ア 白紙のまま次の問題へ進み、時間を残す イ 結論だけ「3 の倍数になる」と書いて終わりにする ウ n は整数とおくところと立式まで書いておく エ 具体的な数で試した例だけを書いておく）
- 半径 r m の円形の池のまわりに、幅 a m の道があります。道の面積を S m²、道の真ん中を通る円の周の長さを ℓ m とするとき、S = aℓ となることを示す計算として正しいものはどれですか。 （ア S = π(r + a)² − πr² = πa(2r + a)、ℓ = 2π(r + a) = 2πr + 2πa イ S = π(r + a)² − πr² = πa(2r + a)、ℓ = 2π(r + a/2) = π(2r + a) ウ S = π(r + a)² − πr² = πa(r + 2a)、ℓ = 2πr + πa = π(2r + a) エ S = π(r + a)² − πr² = πa²、ℓ = 2π(r + a/2) = π(2r + a)）
- 3 けたの整数から、その数の百の位と一の位の数字を入れかえた数をひいた差について、正しいものはどれですか。もとの数を 100a + 10b + c とします。 （ア 差は 99(a + c) なので、99 の倍数である イ 差は 90(a − c) なので、90 の倍数である ウ 差は 99(a − c) なので、99 の倍数である エ 差は 9(11a − c) なので、9 の倍数である）
文字式の利用（説明・証明） ── 解答
基礎
- エ 2n + 1 偶数 2n より 1 大きい 2n + 1（または 2n − 1）が奇数。
- ウ 10a + b 位取りで、十の位は 10 倍。10a + b。ab は a × b の意味になってしまう。
- イ n、n + 1、n + 2 連続する整数は 1 ずつ増える。n、n + 1、n + 2（または n − 1、n、n + 1）。
- ウ 2n + 1、2n + 3 奇数は 2 ずつ増える。2n + 1 の次の奇数は 2n + 3。
- エ 2m と 2n（m、n は整数） 別々の偶数なので別の文字 m、n を使う。2n と 2n では同じ数、2n と 2n + 2 では連続する偶数に限られてしまう。
- イ 3(n + 1) 和は 3n + 3。「3 の倍数」を示すには 3 × (整数) の形 3(n + 1) にくくる。
標準
- イ 5(n + 2) n + (n+1) + (n+2) + (n+3) + (n+4) = 5n + 10 = 5(n + 2)。真ん中の数 n + 2 の 5 倍で、5 の倍数。
- ア 2(m + n) + 1 2m + 2n + 1 = 2(m + n) + 1。m + n は整数なので「2 × 整数 + 1」＝奇数。
- エ 11(a + b) (10a + b) + (10b + a) = 11a + 11b = 11(a + b)。11 の倍数。
- イ 9(a − b) (10a + b) − (10b + a) = 9a − 9b = 9(a − b)。9 の倍数。
- ア 3(n + 1) の形にくくって示していないから 3n + 3 は確かに 3 の倍数だが、「3 × 整数」の形を見せて初めて説明になる。3(n + 1) とくくり、「n + 1 は整数なので」と添える。
- 2 左上を n とすると、右は n + 1、下は n + 7、右下は n + 8。和は 4n + 16 = 24 なので、n = (24 − 16) ÷ 4 = 2。
- イ 6n + 9 = 3(2n + 3) なので、3 の倍数である 和は 6n + 9 = 3(2n + 3)。2n + 3 は整数なので 3 の倍数。6n + 9 は奇数なので 6 の倍数ではない。9(n + 1) = 9n + 9 で 6n + 9 とは等しくない。
発展
- エ n − 7 と n + 7 カレンダーは 1 週間 7 日で縦に並ぶので、上は 7 小さく下は 7 大きい。和は 3n。
- ウ (2n + 1) + (2n + 3) = 4n + 4 = 4(n + 1)。n + 1 は整数なので 4 の倍数 連続する奇数は 2n + 1 と 2n + 3。和 4n + 4 を 4(n + 1) とくくって「4 × 整数」の形にし、n + 1 が整数だと添える。2n + 1 を 2 回足すのは同じ数どうし、n と n + 2 は奇数と限らない。くくらないと「4 × 整数」の形が見えない。
- イ 9(11a + b) + (a + b + c) 100a + 10b + c = 99a + 9b + (a + b + c) = 9(11a + b) + (a + b + c)。前半は 9 の倍数なので、a + b + c が 9 の倍数なら全体も 9 の倍数。9(10a + b) + (a + b + c) は 91a + 10b + c で合わない。
- ウ n は整数とおくところと立式まで書いておく 採点は文字のおき方・計算・結論の形に部分点がつくことが多い。おき方と立式だけでも点になる。具体例だけでは説明にならない。
- イ S = π(r + a)² − πr² = πa(2r + a)、ℓ = 2π(r + a/2) = π(2r + a) (r + a)² − r² = 2ar + a² = a(2r + a) なので S = πa(2r + a)。真ん中の円の半径は r + a/2 なので ℓ = π(2r + a)。よって S = aℓ。
- ウ 差は 99(a − c) なので、99 の倍数である (100a + 10b + c) − (100c + 10b + a) = 99a − 99c = 99(a − c)。十の位の 10b は打ち消し合う。
受験のしらべ ／ https://juken-shirabe.com/koko/math/m2-03/test/ ／ 問題は毎回の表示で数が変わります。印刷したものはその一例です。
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