一次関数の利用 ── 問題
基礎
- 水そうに、はじめ 29 L の水が入っていて、毎分 3 L ずつ水を入れます。x 分後の水の量を y L とするとき、y を x の式で表しなさい。 （ア y = 3x − 29 イ y = 29x + 3 ウ y = 32x エ y = 3x + 29）
- ばねに x g のおもりをつるすと長さが y cm になり、y = 0.5x + 8 で表されます。40 g のおもりをつるしたときの長さは何 cm ですか。
- 表で、おもり 0 g のときばねの長さは 11 cm、50 g ごとに 10 cm のびます。1 g あたりののびは何 cm ですか。
- 時間 x と道のり y のグラフ（ダイヤグラム）で、グラフが横になっている（傾き 0）区間は何を表しますか。 （ア 出発点に戻った イ 最も速く動いている ウ 引き返している エ 止まっている）
- 2人のダイヤグラム（時間と道のりのグラフ）が交わる点は何を表しますか。 （ア 2人がそれぞれの場所から出発した イ 2人が同じ時刻に同じ場所にいる ウ 2人の間の道のりの差が最大になる エ 2人の速さが等しくなっている）
- 長方形 ABCD（AB = 6 cm、BC = 10 cm）の辺上を点 P が A から B へ毎秒 1 cm で動く。x 秒後（0 ≦ x ≦ 6）の △APD の面積 y cm² を表す式はどれですか。 （ア y = 5x イ y = 30 ウ y = 3x エ y = 6x）
標準
- A プランは基本料 1000 円で 1 分 30 円、B プランは基本料 1600 円で 1 分 10 円です。何分使うと 2 つのプランの料金が等しくなりますか。
- 弟は家を出て分速 60 m で歩き、兄は弟が出てから 4 分後に家を出て分速 90 m で追いかけました。兄が家を出てから何分後に弟に追いつきますか。
- A 地点と B 地点は 2240 m 離れています。P は A から B へ分速 90 m、Q は B から A へ分速 50 m で同時に出発しました。2人は出発してから何分後に出会いますか。
- 長方形 ABCD（AB = 6 cm、BC = 10 cm）の辺上を点 P が A → B → C と毎秒 1 cm で動く。P が辺 BC 上にあるとき（6 ≦ x ≦ 16）の △APD の面積 y cm² を表す式はどれですか。 （ア y = −5x + 80 イ y = 30 ウ y = 5x エ y = 60）
- 長方形 ABCD（AB = 5 cm、BC = 6 cm）の辺上を点 P が A → B → C → D と毎秒 1 cm で動く。P が辺 CD 上にあるとき（11 ≦ x ≦ 16）の △APD の面積 y cm² を表す式はどれですか。 （ア y = −3x + 48 イ y = −3x − 48 ウ y = 15 エ y = 3x + 48 undefined y = 3x）
- 水そうに 110 L の水が入っています。毎分 5 L の割合で水を入れながら、同時に毎分 15 L の割合で水をぬきます。水そうが空になるのは何分後ですか。
- 長さ 17 cm のろうそくに火をつけると、一定の割合で短くなり、10 分後には 15 cm になりました。このろうそくは、火をつけてから何分後に燃えつきますか。
- スマートフォンの料金プランで、A プランは月 1000 円に 1 GB ごとに 500 円が加わり、B プランは使った量によらず月 3000 円です。B プランのほうが安くなるのはどんなときですか。 （ア 6 GB より多く使うとき イ 4 GB より少なく使うとき ウ 4 GB より多く使うとき エ 2 GB より多く使うとき）
発展
- 直線 ℓ：y = 3x − 3 と直線 m：y = x + 5 の交点を A、ℓ と y 軸の交点を B、m と y 軸の交点を C とします。△ABC の面積を求めなさい。
- 原点 O と、直線 y = −3x − 2 上の点 A（x 座標 −1）、直線と y 軸の交点 B について、△OAB の面積を求めなさい。
- 動点の問題で、点 P が辺 AB 上（0 ≦ x ≦ 6）では y = 5x、辺 BC 上（6 ≦ x ≦ 16）では y = 30 だった。x = 6 での確かめとして正しいものはどれですか。 （ア 5 × 6 = 30 ≠ 16 なので、どちらかの式が誤り イ x = 6 は両方の変域に入るので、式は無効になる ウ 境目の値なので、確かめはしなくてよい エ 5 × 6 = 30 で 2 つの式の値が一致する）
- 頂点 A を通って △ABC の面積を2等分する直線が通る点はどれですか。 （ア 辺 CA の中点 イ 辺 AB の中点 ウ 辺 BC の中点 エ 頂点 B）
- A さんは、家から 370 m 離れた図書館に向かって、分速 50 m で歩き始めました。兄は、A さんが家を出てから 4 分後に図書館を出て、分速 120 m で同じ道を家に向かいました。2 人が出会うのは、A さんが家を出てから何分後ですか。
一次関数の利用 ── 解答
基礎
- エ y = 3x + 29 1 分あたり 3 L 増える（傾き）、はじめ 29 L（切片）。y = 3x + 29。
- 28 x = 40 を代入：y = 0.5 × 40 + 8 = 28 cm。
- 0.2 10 ÷ 50 = 0.2 cm。これが傾き。
- エ 止まっている 傾き = 速さ。傾き 0 は道のりが変わらない＝止まっている。
- イ 2人が同じ時刻に同じ場所にいる 交点は x（時刻）も y（場所）も同じ点。追いつく・出会うの瞬間。
- ア y = 5x 底辺 AD = 10、高さ AP = x。y = (1/2) × 10 × x = 5x。
標準
- 30 A：y = 30x + 1000、B：y = 10x + 1600。等しいとき 30x + 1000 = 10x + 1600 → 20x = 600 → x = 30 分。
- 8 弟の出発を基準に x 分後とする。弟 y = 60x、兄 y = 90(x − 4)。60x = 90x − 360 → x = 12。兄が出てからは 12 − 4 = 8 分後。
- 16 A からの距離で表す。P：y = 90x、Q：y = 2240 − 50x。90x = 2240 − 50x → 140x = 2240 → x = 16 分後。
- イ y = 30 P が BC 上にあるとき、底辺 AD = 10、高さは AB = 6 で一定。y = (1/2) × 10 × 6 = 30（一定）。
- ア y = −3x + 48 P は C から D へ向かい、DP = 16 − x。底辺 AD = 6、高さ DP。y = (1/2) × 6 × (16 − x) = −3x + 48。x = 16 で 0 になる。
- 11 1 分ごとに 15 − 5 = 10 L ずつ減る。x 分後の水の量は y = 110 − 10x。y = 0 として x = 11 分。
- 85 10 分で 17 − 15 = 2 cm 短くなるので、5 分で 1 cm 短くなる。x 分後の長さは y = 17 − x/5。y = 0 として x = 85 分。
- ウ 4 GB より多く使うとき A は y = 500x + 1000、B は y = 3000。等しくなるのは 500x + 1000 = 3000 で x = 4。それより多く使うと A のほうが高くなる。
発展
- 16 A：3x − 3 = x + 5 → A(4, 9)。B(0, −3)、C(0, 5)。底辺 BC = 8（y 軸上）、高さ = A の x 座標の絶対値 4。面積 = (1/2) × 8 × 4 = 16。
- 1 A(−1, 1)、B(0, −2)。底辺 OB = 2（y 軸上）、高さ = A の x 座標の絶対値 1。面積 = (1/2) × 2 × 1 = 1。
- エ 5 × 6 = 30 で 2 つの式の値が一致する 区間の境目で2つの式の値が一致するか確かめる。5 × 6 = 30 で一致。
- ウ 辺 BC の中点 BC の中点 M をとると △ABM と △ACM は底辺が等しく高さが共通なので面積が等しい。
- 5 A さんが家を出てから x 分後、A さんは家から 50x m、兄は家から 370 − 120(x − 4) m の地点にいる。2 人が出会うのは等しくなるとき。50x = 370 − 120(x − 4) を解いて x = 5。
受験のしらべ ／ https://juken-shirabe.com/koko/math/m2-08/test/ ／ 問題は毎回の表示で数が変わります。印刷したものはその一例です。
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