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小テスト ／ m2-10

三角形の合同条件・証明の書き方

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三角形の合同条件・証明の書き方 ── 問題

基礎

  1. △ABC ≡ △DEF のとき、辺 BC に対応する辺はどれですか。　（ア DF　イ EF　ウ FD　エ DE）
  2. 三角形の合同条件でないものはどれですか。　（ア 3 組の辺がそれぞれ等しい　イ 3 組の角がそれぞれ等しい　ウ 1 組の辺とその両端の角がそれぞれ等しい　エ 2 組の辺とその間の角がそれぞれ等しい）
  3. 「AO = BO、CO = DO ならば AC = BD」という命題の仮定はどれですか。　（ア △AOC ≡ △BOD　イ AO = BO、CO = DO　ウ 対頂角は等しい　エ AC = BD）
  4. 2 つの三角形で、2 組の辺と「その間の角」が等しいとき、どの合同条件にあてはまりますか。　（ア 2 組の辺とその間の角がそれぞれ等しい　イ 1 組の辺とその両端の角がそれぞれ等しい　ウ 合同とはいえない　エ 3 組の辺がそれぞれ等しい）
  5. 線分 AB と CD が点 O で交わっている。△AOC と △BOD で ∠AOC = ∠BOD である根拠として正しいものはどれですか。　（ア 対頂角は等しいので　イ 仮定より　ウ 錯角は等しいので　エ 共通な角だから）
  6. 四角形 ABCD で、△ABC と △ADC に共通な辺はどれですか。　（ア AC　イ AB　ウ BC　エ AD）

標準

  1. △ABC と △DEF で、AB = DE、BC = EF、∠B = ∠E がわかっている。使える合同条件はどれですか。　（ア 1 組の辺とその両端の角　イ 合同とはいえない　ウ 2 組の辺とその間の角　エ 3 組の辺）
  2. △ABC と △DEF で、BC = EF、∠B = ∠E、∠C = ∠F がわかっている。使える合同条件はどれですか。　（ア 1 組の辺とその両端の角　イ 合同とはいえない　ウ 3 組の辺　エ 2 組の辺とその間の角）
  3. AB ∥ DC のとき、△ABO と △CDO（O は AC と BD の交点）で ∠BAO = ∠DCO である根拠はどれですか。　（ア AB ∥ DC より、同位角は等しいので　イ 対頂角は等しいので　ウ AB ∥ DC より、錯角は等しいので　エ 共通な角だから）
  4. 証明の中で「AO = BO」と書くとき、必ず添えるものはどれですか。　（ア 合同条件（3 組の辺など）　イ 根拠（仮定より、など）　ウ 図（辺の位置を示す）　エ 結論（よって〜））
  5. 証明で、合同を示したあと結論の辺が等しいことにつなぐ文として適切なものはどれですか。　（ア 合同な図形の対応する辺は等しいので AC = BD　イ 仮定より AC = BD　ウ 2 組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので AC = BD　エ よって AC = BD）
  6. AB ∥ DC、AB = DC の四角形 ABCD で、対角線 AC と BD の交点を O とします。△ABO ≡ △CDO を示すときに使う合同条件はどれですか。　（ア 2 組の辺とその間の角がそれぞれ等しい　イ 直角三角形の斜辺と 1 つの鋭角がそれぞれ等しい　ウ 1 組の辺とその両端の角がそれぞれ等しい　エ 3 組の辺がそれぞれ等しい）
  7. AB = AD、CB = CD の四角形 ABCD で、∠ABC = ∠ADC を示します。どの三角形の合同を、どの条件で示せばよいですか。　（ア △ABC と △ADC を、2 組の辺とその間の角で示す　イ △ABC と △ADC を、3 組の辺がそれぞれ等しいことで示す　ウ △ABD と △CDB を、2 組の辺とその間の角で示す　エ △ABD と △CBD を、3 組の辺がそれぞれ等しいことで示す）

発展

  1. 次の証明の誤りとして正しい指摘はどれですか。 「△AOC と △BOD において、AO = BO、CO = DO、AC = BD なので、3 組の辺がそれぞれ等しく △AOC ≡ △BOD。よって AC = BD。」　（ア 結論の AC = BD を途中で使っている　イ 根拠となる等しい辺の数が多すぎる　ウ 合同条件の名前のつけ方が違っている　エ △AOC と △BOD の頂点の対応の順が違う）
  2. 正三角形 ABC の辺 BC 上に D、辺 CA 上に E を BD = CE となるようにとる。△ABD ≡ △BCE を示すときの 3 つの等しい関係として正しい組み合わせはどれですか。　（ア BD = CE、AD = BE、CD = AE　イ AB = BC、AD = BE、∠ABD = ∠BCE　ウ AB = AC、BD = CE、∠BAD = ∠CBE　エ AB = BC、BD = CE、∠ABD = ∠BCE）
  3. 命題「x ＞ 2 ならば x ＞ 1」の逆と、その正誤の組み合わせはどれですか。　（ア 逆：x ＞ 2 ならば x ＞ 1。正しい　イ 逆：x ＞ 1 ならば x ＞ 2。正しい　ウ 逆：x ＞ 1 ならば x ＞ 2。正しくない　エ 逆：x ≦ 2 ならば x ≦ 1。正しい）
  4. △ABC と △DEF で AB = DE、AC = DF、∠B = ∠E がわかっている。この情報だけで合同といえますか。　（ア 3 組の辺がそれぞれ等しいので合同　イ 1 組の辺とその両端の角がそれぞれ等しいので、合同である　ウ ∠B は 2 辺の間の角でないので、合同とはいえない　エ 2 組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので合同）
  5. 正方形 ABCD の辺 BC 上に点 E、辺 CD 上に点 F を、BE = CF となるようにとります。AE = BF を示すとき、合同を示す三角形と条件の組み合わせとして正しいものはどれですか。　（ア △ABE と △BCF、2 組の辺とその間の角　イ △ABE と △BCF、3 組の辺がそれぞれ等しい　ウ △ABE と △CDF、2 組の辺とその間の角　エ △ABE と △BCF、1 組の辺とその両端の角）
  6. 「a = b ならば a² = b²」の逆と、その正誤の組み合わせとして正しいものはどれですか。　（ア 逆は「a² = b² ならば a = b」で、正しい　イ 逆は「a² = b² ならば a = b」で、正しくない　ウ 逆は「a² ≠ b² ならば a ≠ b」で、正しい　エ 逆は「a ≠ b ならば a² ≠ b²」で、正しくない）

三角形の合同条件・証明の書き方 ── 解答

基礎

  1. イ　EF　対応順に書かれているので B ↔ E、C ↔ F。BC に対応するのは EF。
  2. イ　3 組の角がそれぞれ等しい　3 組の角が等しくても大きさが違うことがある（相似）。合同条件は辺を含む 3 つ。
  3. イ　AO = BO、CO = DO　「〜ならば」の〜が仮定、「…である」の…が結論。
  4. ア　2 組の辺とその間の角がそれぞれ等しい　2 辺とその間の角。角が 2 辺の「間」にあることが条件。
  5. ア　対頂角は等しいので　∠AOC と ∠BOD は 2 直線が交わってできる向かい合った角＝対頂角。
  6. ア　AC　2 つの三角形が共有している辺は AC。証明では「AC は共通」と書く。

標準

  1. ウ　2 組の辺とその間の角　∠B は辺 AB と BC の間の角、∠E は DE と EF の間の角。2 組の辺とその間の角。
  2. ア　1 組の辺とその両端の角　辺 BC の両端の角 ∠B、∠C が等しい。1 組の辺とその両端の角。
  3. ウ　AB ∥ DC より、錯角は等しいので　AB ∥ DC で、AC がそれらと交わる。∠BAO と ∠DCO は錯角の位置。
  4. イ　根拠（仮定より、など）　等しい関係には必ず根拠を書く。根拠のない式は減点される。
  5. ア　合同な図形の対応する辺は等しいので AC = BD　合同 → 対応する辺が等しい、という根拠を書いてから結論。
  6. ウ　1 組の辺とその両端の角がそれぞれ等しい　AB = CD（仮定）。AB ∥ DC の錯角で ∠OAB = ∠OCD、∠OBA = ∠ODC。等しい 2 つの角は辺 AB（CD）の両端の角なので「1 組の辺とその両端の角」。
  7. イ　△ABC と △ADC を、3 組の辺がそれぞれ等しいことで示す　AB = AD、CB = CD（仮定）、AC は共通。3 組の辺が等しいので △ABC ≡ △ADC、対応する角で ∠ABC = ∠ADC。間の角が等しいことは分かっていないので、2 組の辺とその間の角は使えない。

発展

  1. ア　結論の AC = BD を途中で使っている　AC = BD は示したい結論。途中で使ってはいけない。3 つ目は対頂角 ∠AOC = ∠BOD を使う。
  2. エ　AB = BC、BD = CE、∠ABD = ∠BCE　正三角形の辺 AB = BC、仮定 BD = CE、正三角形の角 ∠ABD = ∠BCE = 60°。2 組の辺とその間の角。AD = BE は結論なので使えない。
  3. ウ　逆：x ＞ 1 ならば x ＞ 2。正しくない　逆は仮定と結論を入れかえたもの。x = 1.5 は x ＞ 1 だが x ＞ 2 でないので反例。
  4. ウ　∠B は 2 辺の間の角でないので、合同とはいえない　2 辺 AB、AC の間の角は ∠A。∠B は間の角でないので、二辺夾角にならない。合同条件にあてはまらない。
  5. ア　△ABE と △BCF、2 組の辺とその間の角　AB = BC（正方形の辺）、BE = CF（仮定）、∠ABE = ∠BCF = 90°。2 組の辺とその間の角が等しいので △ABE ≡ △BCF、対応する辺で AE = BF。
  6. イ　逆は「a² = b² ならば a = b」で、正しくない　逆は仮定と結論を入れかえたもの。a = 1、b = −1 のとき a² = b² だが a ≠ b（反例）なので、逆は正しくない。

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