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小テスト ／ m2-10

三角形の合同条件・証明の書き方

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三角形の合同条件・証明の書き方 ── 問題

基礎

  1. △ABC ≡ △DEF のとき、辺 BC に対応する辺はどれですか。　（ア DF　イ EF　ウ FD　エ DE）
  2. 三角形の合同条件でないものはどれですか。　（ア 3 組の辺がそれぞれ等しい　イ 3 組の角がそれぞれ等しい　ウ 1 組の辺とその両端の角がそれぞれ等しい　エ 2 組の辺とその間の角がそれぞれ等しい）
  3. 「AO = BO、CO = DO ならば AC = BD」という命題の仮定はどれですか。　（ア △AOC ≡ △BOD　イ AO = BO、CO = DO　ウ 対頂角は等しい　エ AC = BD）
  4. 2 つの三角形で、2 組の辺と「その間の角」が等しいとき、どの合同条件にあてはまりますか。　（ア 2 組の辺とその間の角がそれぞれ等しい　イ 1 組の辺とその両端の角がそれぞれ等しい　ウ 合同とはいえない　エ 3 組の辺がそれぞれ等しい）
  5. 線分 AB と CD が点 O で交わっている。△AOC と △BOD で ∠AOC = ∠BOD である根拠として正しいものはどれですか。　（ア 対頂角は等しいので　イ 仮定より　ウ 錯角は等しいので　エ 共通な角だから）
  6. 四角形 ABCD で、△ABC と △ADC に共通な辺はどれですか。　（ア AC　イ AB　ウ BC　エ AD）

標準

  1. △ABC と △DEF で、AB = DE、BC = EF、∠B = ∠E がわかっている。使える合同条件はどれですか。　（ア 1 組の辺とその両端の角　イ 合同とはいえない　ウ 2 組の辺とその間の角　エ 3 組の辺）
  2. △ABC と △DEF で、BC = EF、∠B = ∠E、∠C = ∠F がわかっている。使える合同条件はどれですか。　（ア 1 組の辺とその両端の角　イ 合同とはいえない　ウ 3 組の辺　エ 2 組の辺とその間の角）
  3. AB ∥ DC のとき、△ABO と △CDO（O は AC と BD の交点）で ∠BAO = ∠DCO である根拠はどれですか。　（ア AB ∥ DC より、同位角は等しいので　イ 対頂角は等しいので　ウ AB ∥ DC より、錯角は等しいので　エ 共通な角だから）
  4. 証明の中で「AO = BO」と書くとき、必ず添えるものはどれですか。　（ア 合同条件　イ 根拠（仮定より、など）　ウ 図　エ 結論）
  5. 証明で、合同を示したあと結論の辺が等しいことにつなぐ文として適切なものはどれですか。　（ア 合同な図形の対応する辺は等しいので AC = BD　イ 仮定より AC = BD　ウ 2 組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので AC = BD　エ よって AC = BD）

発展

  1. 次の証明の誤りとして正しい指摘はどれですか。 「△AOC と △BOD において、AO = BO、CO = DO、AC = BD なので、3 組の辺がそれぞれ等しく △AOC ≡ △BOD。よって AC = BD。」　（ア 結論の AC = BD を証明の途中で使っている　イ 根拠が多すぎる　ウ 合同条件の名前が違う　エ 対応順が違う）
  2. 正三角形 ABC の辺 BC 上に D、辺 CA 上に E を BD = CE となるようにとる。△ABD ≡ △BCE を示すときの 3 つの等しい関係として正しい組み合わせはどれですか。　（ア BD = CE、AD = BE、CD = AE　イ AB = BC、AD = BE、∠ABD = ∠BCE　ウ AB = AC、BD = CE、∠BAD = ∠CBE　エ AB = BC、BD = CE、∠ABD = ∠BCE）
  3. 命題「x ＞ 2 ならば x ＞ 1」の逆と、その正誤の組み合わせはどれですか。　（ア 逆：x ＞ 2 ならば x ＞ 1。正しい　イ 逆：x ＞ 1 ならば x ＞ 2。正しい　ウ 逆：x ＞ 1 ならば x ＞ 2。正しくない（反例 x = 1.5）　エ 逆：x ≦ 2 ならば x ≦ 1。正しい）
  4. △ABC と △DEF で AB = DE、AC = DF、∠B = ∠E がわかっている。この情報だけで合同といえますか。　（ア 3 組の辺で合同　イ 1 組の辺とその両端の角で合同　ウ ∠B は AB と AC の間の角ではないので、この条件だけでは合同とはいえない　エ 2 組の辺とその間の角で合同）

三角形の合同条件・証明の書き方 ── 解答

基礎

  1. イ　EF　対応順に書かれているので B ↔ E、C ↔ F。BC に対応するのは EF。
  2. イ　3 組の角がそれぞれ等しい　3 組の角が等しくても大きさが違うことがある（相似）。合同条件は辺を含む 3 つ。
  3. イ　AO = BO、CO = DO　「〜ならば」の〜が仮定、「…である」の…が結論。
  4. ア　2 組の辺とその間の角がそれぞれ等しい　2 辺とその間の角。角が 2 辺の「間」にあることが条件。
  5. ア　対頂角は等しいので　∠AOC と ∠BOD は 2 直線が交わってできる向かい合った角＝対頂角。
  6. ア　AC　2 つの三角形が共有している辺は AC。証明では「AC は共通」と書く。

標準

  1. ウ　2 組の辺とその間の角　∠B は辺 AB と BC の間の角、∠E は DE と EF の間の角。2 組の辺とその間の角。
  2. ア　1 組の辺とその両端の角　辺 BC の両端の角 ∠B、∠C が等しい。1 組の辺とその両端の角。
  3. ウ　AB ∥ DC より、錯角は等しいので　AB ∥ DC で、AC がそれらと交わる。∠BAO と ∠DCO は錯角の位置。
  4. イ　根拠（仮定より、など）　等しい関係には必ず根拠を書く。根拠のない式は減点される。
  5. ア　合同な図形の対応する辺は等しいので AC = BD　合同 → 対応する辺が等しい、という根拠を書いてから結論。

発展

  1. ア　結論の AC = BD を証明の途中で使っている　AC = BD は示したい結論。途中で使ってはいけない。3 つ目は対頂角 ∠AOC = ∠BOD を使う。
  2. エ　AB = BC、BD = CE、∠ABD = ∠BCE　正三角形の辺 AB = BC、仮定 BD = CE、正三角形の角 ∠ABD = ∠BCE = 60°。2 組の辺とその間の角。AD = BE は結論なので使えない。
  3. ウ　逆：x ＞ 1 ならば x ＞ 2。正しくない（反例 x = 1.5）　逆は仮定と結論を入れかえたもの。x = 1.5 は x ＞ 1 だが x ＞ 2 でないので反例。
  4. ウ　∠B は AB と AC の間の角ではないので、この条件だけでは合同とはいえない　2 辺 AB、AC の間の角は ∠A。∠B は間の角でないので、二辺夾角にならない。合同条件にあてはまらない。

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