中2 数学 ／ 図形 ／ m2-10

更新 2026-09-12

三角形の合同条件・証明の書き方

この単元でできるようになること

• 合同の意味と記号 ≡、対応する頂点の順に書くきまりがわかる
• 三角形の合同条件 3 つを言え、図から「どの条件が使えるか」を見つけられる
• 「仮定」と「結論」を区別し、証明の型（仮定 → 根拠つきの等しい関係 3 つ → 合同条件 → 結論）で書ける
• 合同を使って、辺や角が等しいことを証明できる

入試での位置づけ

合同の証明は、多くの公立高校入試で記述問題として出題されやすく、配点も大きい分野です。「証明を書く」のは中2で初めてで、書き方の型が定まっているため、型を覚えて根拠を書き漏らさなければ安定して得点できます。中3の相似の証明も、書き方はここと同じです。

1. 合同とは

まずここだけ

2 つの図形が、移動（平行移動・回転移動・対称移動）でぴったり重なるとき、合同 であるといい、記号 ≡ で表します。

△ABC ≡ △DEF と書くとき、対応する頂点を同じ順に書きます（A ↔ D、B ↔ E、C ↔ F）。この書き方なら、「対応する辺は AB = DE、BC = EF、CA = FD」「対応する角は ∠A = ∠D、…」と、文字の並びから読み取れます。

合同な図形では、対応する辺の長さ・角の大きさはそれぞれ等しい。

よくある間違い

• △ABC ≡ △DEF を、対応を無視して書く → 対応順に書かないと、どの辺が等しいか伝わらない（減点）
• 「大きさが同じ」を合同と思う → 面積が同じでも形が違えば合同ではない

2. 三角形の合同条件

まずここだけ

2 つの三角形は、次のどれか1つが成り立てば合同です。

  ①  3辺            ②  2辺と間の角        ③  1辺と両端の角
      /\                  /\                   /\
     /  \                /  \                 /  \
    /____\              /_●__\               ●____●
   （3辺に印）        （2辺と、その間の角）  （1辺と、その両端の角）

②の角は「2 辺の間」、③の角は「辺の両端」でないといけません。「2 辺と、間でない角」「2 角と、その間でない辺」では合同とは限りません（ただし③は、2 角が等しければ残りの角も等しい（内角の和 180°）ので、実際には「1 辺と 2 角」で足りることが多い。証明では「両端の角」の形に直して書く）。

条件の見つけ方

図に、わかっている「等しい辺」「等しい角」に印をつけて、

• 辺に印が 3 つ → ①
• 辺に印が 2 つ、その間の角に印 → ②
• 辺に印が 1 つ、その両端の角に印 → ③

印が足りないときは、「共通な辺」「対頂角」「平行線の錯角」「二等辺三角形の底角」が隠れていないかを探します。証明問題の3つ目の等しい関係は、この4つのどれかであることがほとんどです。

3. 証明の書き方 ── 型

まずここだけ：仮定と結論

「〜ならば、…である」の形で、「〜」の部分（わかっていること）を 仮定、「…」の部分（示したいこと）を 結論 といいます。

例題：線分 AB と CD が点 O で交わり、AO = BO、CO = DO ならば、AC = BD である。

仮定：AO = BO、CO = DO 結論：AC = BD

証明の型

【証明】
△AOC と △BOD において、
　仮定より　AO = BO　…①
　仮定より　CO = DO　…②
　対頂角は等しいので　∠AOC = ∠BOD　…③
①、②、③より、2 組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので
　△AOC ≡ △BOD
合同な図形の対応する辺は等しいので
　AC = BD

5 つの部品

1. どの三角形とどの三角形かを書く（「△AOC と △BOD において」。対応順に）
2. 等しい関係を 3 つ、それぞれ根拠つきで（仮定より／対頂角は等しいので／共通な辺だから…）
3. 合同条件を言葉で書く（「2 組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので」）
4. ≡ で結論（対応順に）
5. 合同から示したいことへ（「合同な図形の対応する辺（角）は等しいので」）

根拠の書き方（定番）

よくある間違い

• 根拠を書かずに「AO = BO」とだけ書く → 「仮定より」など根拠を必ず添える（減点対象）
• 合同条件を「二辺夾角」と略称で書く → 教科書の言い回し「2 組の辺とその間の角がそれぞれ等しい」で書く
• 結論を先に使う（AC = BD だから…）→ 結論は最後。証明の途中で使ってはいけない
• 対応順を間違えて △AOC ≡ △ODB と書く → 対応する頂点の順（A↔B、O↔O、C↔D）

ここまでできれば十分

5 つの部品の順に、根拠つきで書けるようになれば、証明の基本は合格です。

4. 定番の型

ここまでできれば十分（の次）

型①：共通な辺

四角形 ABCD で AB = AD、∠BAC = ∠DAC ならば、BC = DC

△ABC と △ADC において、AB = AD（仮定）、∠BAC = ∠DAC（仮定）、AC は共通。2 組の辺とその間の角 → △ABC ≡ △ADC → BC = DC。

型②：平行線の錯角

AB ∥ DC、AB = DC、AC と BD の交点を O とすると、AO = CO

△ABO と △CDO において、AB = CD（仮定）、AB ∥ DC より錯角が等しいので ∠BAO = ∠DCO、∠ABO = ∠CDO。1 組の辺とその両端の角 → △ABO ≡ △CDO → AO = CO。

型③：正三角形・正方形を含む

正三角形 ABC の辺 BC 上に点 D、辺 AC 上に点 E を BD = CE となるようにとると、AD = BE

△ABD と △BCE において、AB = BC（正三角形の辺）、BD = CE（仮定）、∠ABD = ∠BCE = 60°（正三角形の角）。2 組の辺とその間の角 → △ABD ≡ △BCE → AD = BE。

型④：角が等しいことを示す

合同を示したあと「合同な図形の対応する角は等しいので ∠… = ∠…」で締める。辺のときと同じ型です。

もう一歩（発展）：証明の逆と反例

「AC = BD ならば AO = BO かつ CO = DO」のように、仮定と結論を入れかえたものを 逆 といいます。もとの命題が正しくても、逆が正しいとは限りません。

正しくないことを示すには、成り立たない例を 1 つ挙げれば十分で、これを 反例 といいます。「x ＞ 2 ならば x ＞ 1」の逆「x ＞ 1 ならば x ＞ 2」は、x = 1.5 が反例。入試で「次の命題の逆を書き、正しいかどうか。正しくなければ反例を示せ」の形で出題されることがあります。

5. 自己チェック

1. 「△○○○ と △○○○ において」を対応順に書いたか
2. 等しい関係 3 つに、それぞれ根拠を書いたか
3. 合同条件を言葉で書いたか
4. ≡ の対応順は合っているか
5. 「合同な図形の対応する辺（角）は等しいので」で結論につないだか。結論を途中で使っていないか

6. 小テストへ

→ 小テスト（m2-10）

関連する単元

• 前提：m1-14 図形の移動、m2-09 平行線と角
• 次に進む：m2-11 二等辺三角形・直角三角形
• ここで使う考え方が出てくる：m2-12 平行四辺形、m3-11 相似（証明の型が同じ）

参考資料

• 文部科学省『中学校学習指導要領（平成29年告示）解説 数学編』第2学年 B 図形 (2) 図形の合同 ── 「平面図形の合同の意味及び三角形の合同条件」「証明の必要性と意味及びその方法」

受験のしらべ ／ https://juken-shirabe.com/koko/math/m2-10/ ／ 更新 2026-09-12

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