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小テスト ／ m2-11

二等辺三角形・直角三角形

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二等辺三角形・直角三角形 ── 問題

基礎

  1. AB = AC の二等辺三角形 ABC で、∠A = 44° のとき、∠B は何度ですか。
  2. AB = AC の二等辺三角形 ABC で、∠B = 54° のとき、∠A は何度ですか。
  3. 二等辺三角形の定義はどれですか。　（ア 1 つの角が 90° の三角形　イ 2 つの辺が等しい三角形　ウ 3 つの辺が等しい三角形　エ 2 つの角が等しい三角形）
  4. AB = AC の二等辺三角形 ABC で、頂角はどれですか。　（ア ∠B と ∠C　イ ∠C　ウ ∠A　エ ∠B）
  5. 二等辺三角形の頂角の二等分線について正しいものはどれですか。　（ア 底辺に平行　イ 底辺を垂直に 2 等分する　ウ 底辺と 60° で交わる　エ 底角を 2 等分する）
  6. 直角三角形で、直角と向かい合う辺を何といいますか。　（ア 斜辺　イ 対辺　ウ 底辺　エ 高さ）

標準

  1. 直角三角形の合同条件として正しいものはどれですか。　（ア 2 つの鋭角がそれぞれ等しい　イ 直角と 1 つの鋭角がそれぞれ等しい　ウ 直角と 1 つの辺がそれぞれ等しい　エ 斜辺と 1 つの鋭角がそれぞれ等しい）
  2. △ABC で ∠B = ∠C がわかっているとき、いえることはどれですか。　（ア AB = BC　イ AC = BC　ウ ∠A = 60°　エ AB = AC）
  3. AB = AC の二等辺三角形 ABC で、∠A = 44° です。∠B の二等分線と辺 AC の交点を D とするとき、∠BDC は何度ですか。
  4. ∠AOB の二等分線上の点 P から辺 OA、OB に垂線 PC、PD を下ろした。△POC ≡ △POD を示すときの合同条件はどれですか。　（ア 直角三角形の斜辺と 1 つの鋭角　イ 3 組の辺　ウ 2 組の辺とその間の角　エ 直角三角形の斜辺と他の 1 辺）
  5. 点 P から ∠AOB の 2 辺に下ろした垂線 PC、PD の長さが等しい。△POC ≡ △POD を示す合同条件はどれですか。　（ア 3 組の辺　イ 直角三角形の斜辺と 1 つの鋭角　ウ 直角三角形の斜辺と他の 1 辺　エ 1 組の辺とその両端の角）
  6. 正三角形について正しい説明はどれですか。　（ア 頂角だけが 60°　イ 3 つの角が等しくても正三角形とは限らない　ウ 二等辺三角形の特別な場合で、3 つの角はすべて 60°　エ 二等辺三角形ではない）

発展

  1. AB = AC の △ABC で、BC 上に BD = CE となる点 D、E をとる。△ADE が二等辺三角形であることを示す手順として正しいものはどれですか。　（ア AD ∥ AE を示す　イ △ABD ≡ △ACE を示して AD = AE　ウ BD = CE から直接 AD = AE がいえる　エ ∠ADE = ∠AED を仮定する）
  2. 「合同な三角形は面積が等しい」の逆「面積が等しい三角形は合同」について正しいものはどれですか。　（ア 正しくない。反例：底辺 4・高さ 3 の三角形と底辺 6・高さ 2 の三角形　イ 正しい　ウ 逆は作れない　エ 正しくない。反例：正三角形と直角三角形（面積が違う））
  3. AB = AC の二等辺三角形 ABC で ∠A = 36° のとき、∠B の二等分線と AC の交点を D とすると、△BCD はどんな三角形ですか。　（ア BD = BC の二等辺三角形　イ 直角三角形　ウ 正三角形　エ CD = BC の二等辺三角形）

二等辺三角形・直角三角形 ── 解答

基礎

  1. 68　AB = AC なので頂角は ∠A、底角 ∠B = ∠C。(180 − 44) ÷ 2 = 68°。
  2. 72　底角 ∠B = ∠C = 54°。頂角 ∠A = 180 − 54 × 2 = 72°。
  3. イ　2 つの辺が等しい三角形　定義は「2 辺が等しい三角形」。「2 角が等しい」は定理（性質の逆）で、定義ではない。
  4. ウ　∠A　等しい 2 辺 AB、AC の間の角 ∠A が頂角。∠B、∠C が底角。
  5. イ　底辺を垂直に 2 等分する　頂角の二等分線は底辺の垂直二等分線になる（合同から BD = CD、∠ADB = 90°）。
  6. ア　斜辺　直角の向かいにある最も長い辺が斜辺。

標準

  1. エ　斜辺と 1 つの鋭角がそれぞれ等しい　直角三角形の合同条件は「斜辺と 1 つの鋭角」「斜辺と他の 1 辺」の 2 つ。どちらも斜辺を含む。
  2. エ　AB = AC　2 角が等しい三角形は二等辺三角形で、等しい 2 角が底角。底辺は BC なので AB = AC。
  3. 78　∠B = ∠C = 68°。∠DBC = 34°。△BCD で ∠BDC = 180 − 34 − 68 = 78°（∠A + ∠ABD の外角としても同じ）。
  4. ア　直角三角形の斜辺と 1 つの鋭角　∠C = ∠D = 90°、斜辺 OP は共通、∠POC = ∠POD（二等分線）。斜辺と 1 つの鋭角。
  5. ウ　直角三角形の斜辺と他の 1 辺　∠C = ∠D = 90°、斜辺 OP 共通、PC = PD（仮定）。斜辺と他の 1 辺。
  6. ウ　二等辺三角形の特別な場合で、3 つの角はすべて 60°　3 辺が等しいので 2 辺が等しい条件も満たす。3 角はすべて 60°。逆に 3 角が等しければ正三角形。

発展

  1. イ　△ABD ≡ △ACE を示して AD = AE　AB = AC、BD = CE、∠B = ∠C（底角）で 2 組の辺とその間の角 → 合同 → AD = AE。
  2. ア　正しくない。反例：底辺 4・高さ 3 の三角形と底辺 6・高さ 2 の三角形　面積はどちらも 6 だが形が違い合同でない。逆が正しくないことは反例 1 つで示せる。
  3. ア　BD = BC の二等辺三角形　∠B = ∠C = 72°、∠DBC = 36°、∠BDC = 72° = ∠C。2 角が等しいので BD = BC。

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