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小テスト ／ m2-12

平行四辺形・特別な平行四辺形

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平行四辺形・特別な平行四辺形 ── 問題

基礎

  1. 平行四辺形 ABCD で ∠A = 47° のとき、∠B は何度ですか。
  2. 平行四辺形 ABCD で ∠A = 128° のとき、∠C は何度ですか。
  3. 平行四辺形 ABCD の対角線の交点を O とします。AC = 24 cm のとき、AO は何 cm ですか。
  4. 平行四辺形の定義はどれですか。　（ア 4 つの角が等しい四角形　イ 2 組の対辺がそれぞれ等しい四角形　ウ 2 組の対辺がそれぞれ平行な四角形　エ 対角線が中点で交わる四角形）
  5. 平行四辺形の対角線について正しいものはどれですか。　（ア 長さが等しい　イ 角を 2 等分する　ウ それぞれの中点で交わる　エ 垂直に交わる）
  6. 平行四辺形になるための条件として正しくないものはどれですか。　（ア 対角線がそれぞれの中点で交わる　イ 2 組の対角がそれぞれ等しい　ウ 2 組の対辺がそれぞれ等しい　エ 1 組の対辺が平行である）
  7. 図の四角形 ABCD は平行四辺形です。∠x の大きさを求めなさい。
  8. 図の四角形 ABCD は平行四辺形で、対角線 AC と BD の交点を O とします。AO = 5 cm のとき、対角線 AC の長さは何 cm ですか。

標準

  1. 対角線の長さが等しい平行四辺形はどれですか。　（ア 台形　イ 長方形　ウ ひし形　エ すべての平行四辺形）
  2. 対角線が垂直に交わる平行四辺形はどれですか。　（ア 長方形　イ ひし形　ウ 台形　エ すべての平行四辺形）
  3. 正方形についての説明として正しいものはどれですか。　（ア 長方形だが、ひし形ではない　イ 長方形であり、ひし形でもある　ウ 平行四辺形ではない　エ 長方形でもひし形でもない）
  4. 平行四辺形 ABCD で、辺 AD、BC 上に AE = CF となる点 E、F をとる。△ABE ≡ △CDF を示すときの 3 つの等しい関係として正しいものはどれですか。　（ア AE = CF、BE = DF、AB = CD　イ AB = CD、BE = DF、∠A = ∠C　ウ AB = AD、AE = CF、∠A = ∠C　エ AB = CD、AE = CF、∠A = ∠C）
  5. 四角形 EBFD について、ED ∥ BF かつ ED = BF がわかった。平行四辺形であるといえる根拠はどれですか。　（ア 対角線が中点で交わる　イ 2 組の対角が等しい　ウ 2 組の対辺がそれぞれ平行　エ 1 組の対辺が平行でその長さが等しい）
  6. 平行四辺形 ABCD の対角線 BD 上に BE = DF となる点 E、F をとる。四角形 AECF が平行四辺形であることを示すのに使う条件はどれですか。　（ア 2 組の対辺がそれぞれ平行である　イ 2 組の対角がそれぞれ等しい　ウ 対角線 AC と EF が互いの中点で交わる　エ 1 組の対辺が平行で、その長さが等しい）
  7. 平行四辺形 ABCD で、∠A の二等分線が辺 BC と交わる点を E とします。AB = 3 cm、AD = 7 cm のとき、EC の長さは何 cm ですか。

発展

  1. 「1 組の対辺が平行で、もう 1 組の対辺の長さが等しい四角形」は平行四辺形といえますか。　（ア いえる（条件②）　イ いえない。等脚台形が反例　ウ いえない。長方形が反例　エ いえる（条件⑤））
  2. ひし形 ABCD の対角線の交点を O とする。AC ⊥ BD を示す手順として正しいものはどれですか。　（ア ∠A = ∠C（ひし形の対角）から、直接 ∠AOB = 90° を導く　イ AB ∥ DC から錯角が等しいことを使い、∠AOB = 90° を導く　ウ △ABO ≡ △ADO から ∠AOB = ∠AOD、和が 180° で各 90°　エ ひし形の定義に「対角線が垂直」とあるので示す必要はない）
  3. 平行四辺形 ABCD が長方形であることを証明する締めくくりとして適切なものはどれですか。　（ア AB = BC を示し、「隣り合う辺が等しい平行四辺形は長方形」　イ AC ⊥ BD を示し、「対角線が垂直な平行四辺形は長方形」　ウ AB ∥ DC を示す　エ 対角線 AC = BD を示し、「対角線が等しい平行四辺形は長方形」）
  4. 平行四辺形 ABCD の対角線の交点 O を通る直線が、辺 AD、BC と交わる点を、それぞれ E、F とします。直線の引き方によらず、いつでも成り立つものはどれですか。　（ア EF ⊥ AD　イ OE = OF　ウ AE = BF　エ AE = AF）

平行四辺形・特別な平行四辺形 ── 解答

基礎

  1. 133　隣り合う角の和は 180°（AB ∥ DC の同側内角）。∠B = 180 − 47 = 133°。
  2. 128　対角は等しい。∠C = ∠A = 128°。
  3. 12　対角線はそれぞれの中点で交わる。AO = AC ÷ 2 = 12 cm。
  4. ウ　2 組の対辺がそれぞれ平行な四角形　定義は「2 組の対辺がそれぞれ平行」。「対辺が等しい」「対角線が中点で交わる」は性質（定理）。
  5. ウ　それぞれの中点で交わる　平行四辺形の対角線は中点で交わる。等しいのは長方形、垂直はひし形。
  6. エ　1 組の対辺が平行である　1 組の対辺が平行なだけでは台形の可能性がある。「1 組の対辺が平行でその長さが等しい」なら条件になる。
  7. 50　AD ∥ BC なので、隣り合う角の和は 180°。∠x = 180 − 130 = 50°。（∠C = ∠A = 130° は対角）
  8. 10　平行四辺形の対角線はそれぞれの中点で交わるので AO = CO。AC = 2 × 5 = 10 cm。

標準

  1. イ　長方形　対角線が等しい平行四辺形は長方形。ひし形は対角線が垂直。
  2. イ　ひし形　対角線が垂直な平行四辺形はひし形。長方形は対角線が等しい。
  3. イ　長方形であり、ひし形でもある　正方形は 4 角が等しい（長方形）かつ 4 辺が等しい（ひし形）。どちらの性質も持つ。
  4. エ　AB = CD、AE = CF、∠A = ∠C　AB = CD（対辺）、AE = CF（仮定）、∠A = ∠C（対角）。2 組の辺とその間の角。BE = DF は結論なので使えない。
  5. エ　1 組の対辺が平行でその長さが等しい　同じ 1 組の対辺 ED、BF が平行かつ等しい → 条件⑤。
  6. ウ　対角線 AC と EF が互いの中点で交わる　AO = CO（平行四辺形の対角線）、EO = BO − BE = DO − DF = FO。対角線が中点で交わる（条件④）。
  7. 4　AD ∥ BC の錯角で ∠DAE = ∠AEB。∠BAE = ∠DAE なので ∠BAE = ∠AEB となり、△ABE は二等辺三角形で BE = AB = 3 cm。BC = AD = 7 cm なので EC = 7 − 3 = 4 cm。

発展

  1. イ　いえない。等脚台形が反例　条件⑤は「同じ 1 組」が平行かつ等しいこと。別の組では等脚台形（平行な上底下底と、等しい脚）が反例。
  2. ウ　△ABO ≡ △ADO から ∠AOB = ∠AOD、和が 180° で各 90°　AB = AD（ひし形）、BO = DO（対角線の中点）、AO 共通 → 合同 → ∠AOB = ∠AOD。一直線上なので 90°。
  3. エ　対角線 AC = BD を示し、「対角線が等しい平行四辺形は長方形」　長方形は「1 角が 90°」または「対角線が等しい」平行四辺形。垂直な対角線・隣辺が等しいのはひし形。
  4. イ　OE = OF　OA = OC（対角線はそれぞれの中点で交わる）、対頂角で ∠AOE = ∠COF、錯角で ∠OAE = ∠OCF。△AOE ≡ △COF なので OE = OF（AE = CF も成り立つ）。AE = BF は E が AD の中点のときだけ。

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