中2 数学 ／ 図形 ／ m2-12

更新 2026-09-12

平行四辺形 ── 性質・条件・特別な平行四辺形

この単元でできるようになること

• 平行四辺形の定義と 3 つの性質（対辺・対角・対角線）を使える
• 平行四辺形になるための条件 5 つを言え、証明で「平行四辺形である」ことを示せる
• 長方形・ひし形・正方形を、平行四辺形との関係（条件の追加）で整理できる
• 平行四辺形の性質を根拠にした合同の証明が書ける

入試での位置づけ

平行四辺形は、証明問題の題材として最も出題されやすい図形の 1 つです。「平行四辺形 ABCD」と書かれた瞬間に、対辺が等しい・対辺が平行（錯角）・対角線が中点で交わるを根拠として使えます。「四角形 ○○○○ が平行四辺形であることを証明せよ」は、条件 5 つのどれかを示す問題で、条件を覚えていないと手が出ません。長方形・ひし形・正方形は、平行四辺形に「条件を足した」図形として整理すると混乱しません。

1. 平行四辺形の定義と性質

まずここだけ

2 組の対辺がそれぞれ平行な四角形を 平行四辺形 といいます（定義）。記号 ▱ABCD。

向かい合う辺を 対辺、向かい合う角を 対角 といいます。

    A ────────── D
   /            /
  /            /      AB ∥ DC、AD ∥ BC
 B ────────── C

性質（定理）

1. 2 組の対辺はそれぞれ等しい（AB = DC、AD = BC）
2. 2 組の対角はそれぞれ等しい（∠A = ∠C、∠B = ∠D）
3. 対角線はそれぞれの中点で交わる（AO = CO、BO = DO。O は交点）

さらに、定義から 隣り合う角の和は 180°（AB ∥ DC で同側内角）。

性質①の証明（対角線を引く）

対角線 AC を引く。△ABC と △CDA において、AC は共通、AB ∥ DC より錯角 ∠BAC = ∠DCA、AD ∥ BC より錯角 ∠BCA = ∠DAC。1 組の辺とその両端の角 → △ABC ≡ △CDA → AB = CD、BC = DA。

「平行四辺形に対角線を引くと合同な三角形が 2 つできる」──これが性質の出どころで、証明で対角線を補助線に引く理由でもあります。

角の計算

∠A = 110° の平行四辺形 → ∠C = 110°（対角）、∠B = ∠D = 70°（隣り合う角の和が 180°）

よくある間違い

• 平行四辺形の対角線が「等しい」と思う → 対角線が等しいのは長方形。平行四辺形は「中点で交わる」だけ
• 対角線が「垂直に交わる」と思う → 垂直なのはひし形
• 隣り合う角を等しいとする → 隣り合う角は和が 180°。等しいのは対角

2. 平行四辺形になるための条件

まずここだけ

四角形が平行四辺形であるといえるのは、次の 5 つのどれか 1 つが成り立つときです。

①〜④は性質の逆（すべて正しい）、⑤は「1 組」だけでよいという便利な条件です。

証明での使い方

「四角形 EBFD が平行四辺形であることを証明せよ」

図の中で、EB と FD について「平行」と「等しい」の両方が言えそうなら⑤、対角線の中点なら④、というように、5 つの中から図に合う条件を選び、それを示すのが手順です。

例：▱ABCD の対角線 BD 上に、BE = DF となる点 E、F をとると、四角形 AECF は平行四辺形

対角線 AC と BD の交点を O とすると、AO = CO（平行四辺形の対角線）。BO = DO で、BE = DF より EO = BO − BE = DO − DF = FO。 対角線 AC、EF がそれぞれの中点 O で交わるので、条件④より四角形 AECF は平行四辺形。

よくある間違い

• 「1 組の対辺が平行」だけで平行四辺形とする → 台形もそう。平行かつ等しい（⑤）が必要
• 「1 組の対辺が等しく、もう 1 組が平行」を⑤と思う → ⑤は同じ 1 組が平行で等しい。別の組では平行四辺形とは限らない（等脚台形が反例）
• 条件を 2 つ示そうとして時間を使う → 1 つで十分

ここまでできれば十分

性質 3 つを根拠に使え、条件 5 つの中から示すものを選べれば、この単元の中心は合格です。

3. 特別な平行四辺形

まずここだけ

平行四辺形に条件を足すと、長方形・ひし形・正方形になります。

   平行四辺形 ──(角が 90°)──→ 長方形 ──┐
       │                               ├──→ 正方形
       └───(辺が等しい)──→ ひし形 ──────┘

すべて平行四辺形の仲間なので、平行四辺形の性質（対辺が等しい・対角線が中点で交わる）はどれにも使えます。

対角線で見分ける

「対角線が等しい平行四辺形は長方形」「対角線が垂直な平行四辺形はひし形」は、証明問題で「〜が長方形であることを示せ」のときの締めに使います。

例：ひし形の対角線が垂直である証明

ひし形 ABCD の対角線の交点を O。△ABO と △ADO で、AB = AD（ひし形）、BO = DO（平行四辺形の対角線）、AO 共通。3 組の辺 → 合同 → ∠AOB = ∠AOD。∠AOB + ∠AOD = 180° なので、それぞれ 90°。AC ⊥ BD。

よくある間違い

• 長方形の対角線が垂直と思う → 長方形は等しい、ひし形が垂直
• 「正方形は長方形ではない」と思う → 正方形は長方形の特別な場合（かつひし形でもある）
• ひし形の定義を「対角線が垂直」とする → 定義は4 辺が等しい。対角線の垂直は性質

4. 台形

ここまでできれば十分（の次）

1 組の対辺が平行な四角形を台形といい、平行な 2 辺のうち上を上底、下を下底、平行でない 2 辺を脚といいます。脚の長さが等しい台形を等脚台形といい、底角が等しく、対角線の長さが等しい性質があります。

台形は平行四辺形ではありません（平行なのが 1 組だけ）。「四角形が平行四辺形であることを示す」問題で台形の可能性を消すために、条件⑤の「平行かつ等しい」が必要になるわけです。

5. 証明の型（この単元）

もう一歩（発展）

型①：平行四辺形の性質を根拠に、三角形の合同を示す

▱ABCD で、辺 AD、BC 上にそれぞれ AE = CF となる点 E、F をとると、BE = DF △ABE と △CDF において、AB = CD（平行四辺形の対辺）、AE = CF（仮定）、∠A = ∠C（平行四辺形の対角）。2 組の辺とその間の角 → 合同 → BE = DF。

型②：四角形が平行四辺形であることを示す 上の図で、さらに四角形 EBFD が平行四辺形であることを示すなら：ED = AD − AE、BF = BC − CF で、AD = BC、AE = CF より ED = BF。ED ∥ BF（AD ∥ BC の一部）。1 組の対辺が平行で等しい（条件⑤）→ 平行四辺形。

型③：長方形・ひし形であることを示す まず平行四辺形であることを示し（または与えられ）、「対角線が等しい」→ 長方形、「隣り合う辺が等しい」→ ひし形、で締める。

証明で「平行四辺形 ABCD」と書かれたら、使える根拠が 5 つ（AB = DC、AD = BC、∠A = ∠C、∠B = ∠D、対角線の中点、＋平行から錯角）あると思って、図に印をつけてから書き始めてください。

6. 自己チェック

1. 平行四辺形の性質：対辺が等しい・対角が等しい・対角線が中点で交わる、を根拠として書いたか
2. 平行四辺形であることを示すとき、条件 5 つのどれを示したか明記したか（「1 組の対辺が平行でその長さが等しいので」）
3. 長方形＝対角線が等しい、ひし形＝対角線が垂直、を取り違えていないか
4. 「1 組が平行で別の1 組が等しい」を条件⑤と混同していないか

7. 小テストへ

→ 小テスト（m2-12）

関連する単元

• 前提：m2-09 平行線と角、m2-10 合同条件、m2-11 二等辺三角形
• 次に進む：m2-13 平行線と面積
• ここで使う考え方が出てくる：m3-12 中点連結定理、m3-17 三平方の定理の利用

参考資料

• 文部科学省『中学校学習指導要領（平成29年告示）解説 数学編』第2学年 B 図形 (2) 図形の合同 ── 「平行四辺形の基本的な性質」「平行四辺形になるための条件」

受験のしらべ ／ https://juken-shirabe.com/koko/math/m2-12/ ／ 更新 2026-09-12

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