小テスト／ m3-03

式の計算の利用

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式の計算の利用 ── 問題

乗法公式を利用して 106² を計算しなさい。
因数分解を利用して 58² − 33² を計算しなさい。
x = 22 のとき、x² − 8x + 16 の値を求めなさい（先に因数分解すると計算が楽になります）。
a = 4、b = 0.5 のとき、a² − b² の値を求めなさい。
102 × 98 を工夫して計算するときに使う公式はどれですか。　（ア (x + a)(x + b) = x² + (a + b)x + ab　イ (x + a)² = x² + 2ax + a²　ウ (x + a)(x − a) = x² − a²　エ分配法則のみ）
x = 3、y = −2 のとき、(x + y)² − (x − y)² の値はどれですか。　（ア −24　イ 0　ウ 24　エ 13）

x = −1、y = −4 のとき、(x + y)² − (x − y)² の値を求めなさい。
「連続する 2 つの整数の 2 乗の和は奇数」の説明で、n² + (n + 1)² を結論の形に整えたものはどれですか。　（ア 2(n² + n) + 1　イ (2n + 1)²　ウ 2n(n + 1)　エ 2n² + 2n + 1）
「連続する 2 つの偶数の積に 1 を加えると奇数の 2 乗になる」の説明で、2n(2n + 2) + 1 を整えたものはどれですか。　（ア 2(2n² + 2n) + 1　イ (4n + 1)²　ウ 4n² + 4n + 1　エ (2n + 1)²）
(10a + b)² − (10b + a)² を計算する最も速い方法はどれですか。　（ア a = b とおく　イ両方を展開して引く　ウ 10 でわる　エ和と差の積で因数分解する：{(10a + b) + (10b + a)}{(10a + b) − (10b + a)}）
連続する 3 つの整数で「真ん中の数の 2 乗から両端の数の積をひく」を、真ん中を n として式にしたものはどれですか。　（ア n² − n(n + 1)　イ (n + 1)² − n(n + 2)　ウ n² − (n + 1)(n + 2)　エ n² − (n − 1)(n + 1)）
1 辺 a m の正方形の土地の周りに幅 1 m の道がある。道の面積を a の式で表しなさい。　（ア 2a + 1　イ 4a　ウ 4　エ 4a + 4）

半径 r の円形の池の周りに幅 a の道がある。道の面積 S と道の真ん中を通る円周 ℓ の関係として正しいものはどれですか。　（ア S = πaℓ　イ S = aℓ　ウ S = ℓ/a　エ S = 2aℓ）
縦 x、横 y の長方形の縦を 3 のばし、横を 3 縮めたとき、面積の変化 (x + 3)(y − 3) − xy はどれですか。　（ア 3(x − y + 3)　イ 0　ウ 3(y − x − 3)　エ −9）
「2 けたの自然数と、その位を入れかえた数の 2 乗の差は 99 の倍数」の説明の締めくくりとして正しいものはどれですか。　（ア 11(a + b) × 9(a − b) は 99 より大きいので 99 の倍数　イ 99(a + b)(a − b) で、(a + b)(a − b) は整数なので 99 の倍数　ウ 99a² − 99b² なので 99 の倍数　エ a、b は整数なので 99 の倍数）
x = 2 のとき、(x − 3)² − (x + 5)(x + 4) の値を求めなさい（先に展開して整理しなさい）。

16　展開して整理：4xy。4 × (−1) × (−4) = 16。
ア　2(n² + n) + 1　2n² + 2n + 1 = 2(n² + n) + 1。n² + n は整数なので 2 × 整数 + 1 = 奇数。
エ　(2n + 1)²　4n² + 4n + 1 = (2n + 1)²。2n + 1 は奇数なので、奇数の 2 乗。
エ　和と差の積で因数分解する：{(10a + b) + (10b + a)}{(10a + b) − (10b + a)}　2 乗の差は因数分解。(11a + 11b)(9a − 9b) = 99(a + b)(a − b) で 99 の倍数がすぐ見える。
エ　n² − (n − 1)(n + 1)　両端は n − 1 と n + 1。n² − (n² − 1) = 1。真ん中を n とおくと和と差の積が使える。
エ　4a + 4　(a + 2)² − a² = (a + 2 + a)(a + 2 − a) = (2a + 2) × 2 = 4a + 4。

イ　S = aℓ　S = π(r + a)² − πr² = πa(2r + a)。ℓ = 2π(r + a/2) = π(2r + a)。よって S = aℓ。
ウ　3(y − x − 3)　xy − 3x + 3y − 9 − xy = −3x + 3y − 9 = 3(y − x − 3)。y ＞ x + 3 なら増える。
イ　99(a + b)(a − b) で、(a + b)(a − b) は整数なので 99 の倍数　99 × (整数) の形を作り、中身が整数であることを添える。
−41　展開して整理：(x² − 6x + 9) − (x² + 9x + 20) = −15x − 11。x = 2 を代入して −41。

受験のしらべ／ https://juken-shirabe.com/koko/math/m3-03/test/ ／問題は毎回の表示で数が変わります。印刷したものはその一例です。

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