式の計算の利用 ── 問題
基礎
- 乗法公式を利用して 94² を計算しなさい。
- 因数分解を利用して 69² − 57² を計算しなさい。
- x = 39 のとき、x² − 2x + 1 の値を求めなさい（先に因数分解すると計算が楽になります）。
- a = 4.5、b = 1.5 のとき、a² − b² の値を求めなさい。
- 102 × 98 を工夫して計算するときに使う公式はどれですか。 （ア (x + a)(x + b) = x² + (a + b)x + ab イ (x + a)² = x² + 2ax + a² ウ (x + a)(x − a) = x² − a² エ 分配法則のみ）
- x = 3、y = −2 のとき、(x + y)² − (x − y)² の値はどれですか。 （ア −24 イ 0 ウ 24 エ 13）
標準
- x = −1、y = −4 のとき、(x + y)² − (x − y)² の値を求めなさい。
- 「連続する 2 つの整数の 2 乗の和は奇数」の説明で、n² + (n + 1)² を結論の形に整えたものはどれですか。 （ア 2(n² + n) + 1 イ (2n + 1)² ウ 2n(n + 1) エ 2n² + 2n + 1）
- 「連続する 2 つの偶数の積に 1 を加えると奇数の 2 乗になる」の説明で、2n(2n + 2) + 1 を整えたものはどれですか。 （ア 2(2n² + 2n) + 1 イ (4n + 1)² ウ 4n² + 4n + 1 エ (2n + 1)²）
- (10a + b)² − (10b + a)² を計算する最も速い方法はどれですか。 （ア a = b とおいて式を簡単にする イ 両方を展開してから同類項をまとめて引く ウ 全体を 10 でわってから計算する エ 2 乗の差なので、和と差の積の形に因数分解する）
- 連続する 3 つの整数で「真ん中の数の 2 乗から両端の数の積をひく」を、真ん中を n として式にしたものはどれですか。 （ア n² − n(n + 1) イ (n + 1)² − n(n + 2) ウ n² − (n + 1)(n + 2) エ n² − (n − 1)(n + 1)）
- 1 辺 a m の正方形の土地の周りに幅 5 m の道がある。道の面積を a の式で表しなさい。 （ア 20a + 100 イ 100 ウ 10a + 25 エ 20a）
- 白い碁石を縦に 7 個、横に 7 個ずつ、正方形の形にすき間なく並べます。いちばん外側の 1 周の碁石をすべて黒い碁石に取りかえると、黒い碁石は何個になりますか。
- 「奇数と奇数の積は奇数になる」ことを、m、n を整数として 2 つの奇数を 2m + 1、2n + 1 と表して説明します。 (2m + 1)(2n + 1) = 4mn + 2m + 2n + 1 = 2(【ア】) + 1 【ア】にあてはまる式はどれですか。 （ア 2mn + m + n + 1 イ 2mn + m + n ウ mn + m + n エ 4mn + 2m + 2n）
発展
- 半径 r の円形の池の周りに幅 a の道がある。道の面積 S と道の真ん中を通る円周 ℓ の関係として正しいものはどれですか。 （ア S = πaℓ イ S = aℓ ウ S = ℓ/a エ S = 2aℓ）
- 縦 x、横 y の長方形の縦を 3 のばし、横を 3 縮めたとき、面積の変化 (x + 3)(y − 3) − xy はどれですか。 （ア 3(x − y + 3) イ 0 ウ 3(y − x − 3) エ −9）
- 「2 けたの自然数と、その位を入れかえた数の 2 乗の差は 99 の倍数」の説明の締めくくりとして正しいものはどれですか。 （ア 11(a + b) × 9(a − b) は 99 より大きいので 99 の倍数 イ 99(a + b)(a − b) で、(a + b)(a − b) は整数なので 99 の倍数 ウ 99a² − 99b² なので 99 の倍数 エ a、b は整数なので 99 の倍数）
- x = −3 のとき、(x − 2)² − (x − 2)(x + 4) の値を求めなさい（先に展開して整理しなさい）。
- 白い碁石を縦と横に同じ個数ずつ、正方形の形にすき間なく並べました。いちばん外側の 1 周の碁石をすべて黒い碁石に取りかえたところ、黒い碁石は 16 個になりました。内側に残っている白い碁石は何個ですか。
式の計算の利用 ── 解答
基礎
- 8836 (100 − 6)² = 100² + 2 × 100 × (−6) + (−6)² = 8836。
- 1512 (69 + 57)(69 − 57) = 126 × 12 = 1512。
- 1444 因数分解して (x − 1)²。x = 39 を代入：(38)² = 1444。
- 18 (a + b)(a − b) = 6 × 3 = 18。
- ウ (x + a)(x − a) = x² − a² (100 + 2)(100 − 2) = 10000 − 4 = 9996。和と差の積。
- ア −24 展開して整理すると 4xy。4 × 3 × (−2) = −24。0 ではない。
標準
- 16 展開して整理：4xy。4 × (−1) × (−4) = 16。
- ア 2(n² + n) + 1 2n² + 2n + 1 = 2(n² + n) + 1。n² + n は整数なので 2 × 整数 + 1 = 奇数。
- エ (2n + 1)² 4n² + 4n + 1 = (2n + 1)²。2n + 1 は奇数なので、奇数の 2 乗。
- エ 2 乗の差なので、和と差の積の形に因数分解する 2 乗の差は因数分解。(11a + 11b)(9a − 9b) = 99(a + b)(a − b) で 99 の倍数がすぐ見える。
- エ n² − (n − 1)(n + 1) 両端は n − 1 と n + 1。n² − (n² − 1) = 1。真ん中を n とおくと和と差の積が使える。
- ア 20a + 100 (a + 10)² − a² = (a + 10 + a)(a + 10 − a) = (2a + 10) × 10 = 20a + 100。
- 24 全体の 7² 個から、内側の正方形 5² 個をひく。7² − 5² = (7 + 5)(7 − 5) = 12 × 2 = 24。
- イ 2mn + m + n + 1 以外の部分を 2 でくくる：4mn + 2m + 2n = 2(2mn + m + n)。2mn + m + n は整数なので、2 × 整数 + 1 の形で奇数とわかる。
発展
- イ S = aℓ S = π(r + a)² − πr² = πa(2r + a)。ℓ = 2π(r + a/2) = π(2r + a)。よって S = aℓ。
- ウ 3(y − x − 3) xy − 3x + 3y − 9 − xy = −3x + 3y − 9 = 3(y − x − 3)。y ＞ x + 3 なら増える。
- イ 99(a + b)(a − b) で、(a + b)(a − b) は整数なので 99 の倍数 99 × (整数) の形を作り、中身が整数であることを添える。
- 30 展開して整理：(x² − 4x + 4) − (x² + 2x − 8) = −6x + 12。x = −3 を代入して 30。
- 9 1 辺 n 個のとき黒は n² − (n − 2)² = 4n − 4 個。4n − 4 = 16 → n = 5。白は (5 − 2)² = 3² = 9 個。
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